Extremum

aussi les minima stricts locaux de l’énergie potentielle. V (q)= -U(q) Équilibre stable Équilibre instable Équilibre stable non strict q Exemples : pendule gyroscopique, pendule en rotation 4 Conditions mathématiques : énergie potentielle : Extrémum : V (q1 , q 2 , ∀i , qn ) = −U (q) ∂V (q 0 ) = 0 ⇔ ∇V (q 0 ) = 0 ∂qi  ∂ / ∂q1   ∇=   ∂ / ∂qn    le gradient de V : ∇V (q 0 ) = 0 maximum local :  la matrice hessienne de V : ∇∇ T V (q 0 ) est définie négative  le gradient

ferina est lactisque abundans copia qua sustentantur, et herbae multiplices et siquae alites capi per aucupium possint, et plerosque mos vidimus frumenti usum et vini penitus ignorantes. Eius populus ab incunabulis primis ad usque pueritiae tempus extremum, quod annis circumcluditur fere trecentis, circummurana pertulit bella, deinde aetatem ingressus adultam post multiplices bellorum aerumnas Alpes transcendit et fretum, in iuvenem erectus et virum ex omni plaga quam orbis ambit inmensus, reportavit

l'utilisation d'un tableur) (Voir TP ) On trace à l’aide d’un tableur la courbe dérivée 10 8 pHeq 6.81 6 4 2 5 10 16.08 15 Veq 20 Vb (ml) deriv pH dpH =f(V). dV 10 8 7.016 6 Cette courbe présente un extremum dont le sommet a pour abscisse le volume équivalent. 4 3) Titrage colorimétrique (Voir TP 2 cinétique) Dans un titrage colorimétrique, l’observable est la couleur de la 16.11 5 10 15 solution dans le bécher. On utilise un indicateur coloré

. . . . . . u e 4.3 Propri´t´s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ee 4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 OPTIMISATION 43 5.1 Extremums locaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 5.2 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 6 TRANSFORMATIONS DE L’ESPACE EUCLIDIEN

effet l'or et l'argent cristallisent dans un même système (cubique à faces centrées), présente une arête de maille identique (408 pm) et un rayon métallique quasi identique (140 pm). Dans ce cas on obtient dans le diagramme binaire un fuseau sans extremum : Ce type de diagramme ressemblant à celui obtenu lors de l'étude du diagramme binaire liquide vapeur dans le cas idéal, on peut considérer que ce type de solution solide s'approche de l'idéalité. On peut donc, dans ce cadre essayer, de trouver

géométrique. Remarque: Si a ≤ λ, il existe un phénomène de diffraction. 8 2/ Principe de Fermat Enoncé : Le trajet emprunté par la lumière entre deux points est tel que le temps de parcours est extremum (maximum ou minimum). ∆ n∆ ∆t = = . n ∆ est le chemin optique, il est donc également extremum. v c Cela implique que dans un milieu homogène (n = constante), la lumière se propage en ligne droite. Lorsque le milieu est inhomogène (n ≠ constante), les rayons lumineux sont courbés. Exemple : L’indice

triangle OMN est minimale pour x = 3 2 4   + 4 32 3 3  = . Cette aire minimale est égale à g ( x 0 ) = 9 8 3 3 32 3 soit airemin = 6,158... D’où airemin = 9 Remarque Cet exercice montre que les valeurs pour lesquelles une fonction admet un extremum ne sont pas toujours des valeurs « simples » et évidentes à trouver. 10 © Cned - Académie en ligne Séquence 2 – MA01 Une valeur arrondie à 0,01 près de cette aire est 6,16. c) La tangente au point A0 ( x 0 ; g ( x 0 )) a pour équation y = −2x

a, b et c tels que pour tout x∈R : fx=ax2+bx+c où a, b et c sont les coefficients de polynômes Théorème : Le tableau de variation de la fonction f est : 1er cas : a>0 2e cas : a<0 En particulier, la fonction f admet un extremum en x=α Théorème 2 : Dans un repère ortho normal (O ; I ; J), la courbe représentative de la fonction polynôme du second degré fest une parabole dans le sommet S a pour abscisse x=α. Cette parabole a pour axe de symétrie la droite x=α. 1er cas :

la dérivée de la fonction s'annule. C'est également le cas pour les minima locaux. et ce point est un extremum. Ainsi, par exemple, les deux fonctions qui à Mais à l'inverse, le fait que la dérivée soit nulle en un point n'entraine pas forcément que x associent f1 (x) = x3 ont l'une et l'autre une dérivée nulle en f2 (x) = 1 x0 = 0 sans pour autant posséder un extremum en ce point : la première a en 0 un point d'inexion, la seconde est constante. Fig. 2  Graphe des deux

cherche la valeur de x0 telle que le champ magnétique au voisinage du centre du dispositif soit le plus uniforme possible (en se limitant aux points de l’axe). Puisque le champ est selon l’axe : Bx = B1x + B2x. Par symétrie, le champ est forcément extremum au centre, c’est-à-dire que : [pic] = 0, et de même : [pic] = 0, donc : Bx(x) ≈ Bx(0) + [pic] [pic] + [pic] [pic] + ... [pic] Pour que le champ soit le plus uniforme possible il faut en plus : [pic] = 0, ce qui correspond à x0 = [pic]