Extremum

( − 5 ) = 36 x2 = 4+6 =5 2 f’ a deux racines : 4–6 = − 1 et 2 On en déduit le tableau de variation de f : x Signe de f ’ –∞ –1 2 5 +∞ + 0 –5 – – 0 + Variation de f 7 d. Préciser les éventuels extremums de f sur l’intervalle [ 3 ; 12 ]. On trace le tableau de variation de f sur l’intervalle [ 3 ; 12 ]. x signe de f’ 11 Variation de la f 7 sur l’intervalle [ 3 ; 12 ] : f admet un maximum, c’est 11,9 atteint en 12. f admet un minimum, c’est 7, atteint

k . On obtient donc le résultat suivant : en tout point d’une courbe de niveau, le gradient est orthogonal à cette courbe. Ce vecteur dirige la normale à la droite f ( a , b ) + 3 Cours Fonctions de deux variables TTP D) Dérivées d’ordre 2, extremums ∂f ∂f , sont de nouvelles fonctions de deux variables ∂x ∂y et peuvent être ou non dérivables par rapport à l’une ou l’autre des variables. On peut ainsi définir ∂2 f ∂2 f ∂2 f ∂2 f , , , quatre nouvelles fonctions de deux variables… Heureusement

per turbulentos seditionum concitores occultius distributo et tumor consenuit militum et salus est in tuto locata praefecti. deinde cibo abunde perlato castra die praedicto sunt mota. Eius populus ab incunabulis primis ad usque pueritiae tempus extremum, quod annis circumcluditur fere trecentis, circummurana pertulit bella, deinde aetatem ingressus adultam post multiplices bellorum aerumnas Alpes transcendit et fretum, in iuvenem erectus et virum ex omni plaga quam orbis ambit inmensus, reportavit

local pour f alors : • x0 est un point critique pour f : Df(x0) = 0 • la matrice hessienne Hf(x0) est semi-définie négative (SDN) : hTHf(x0)h  0 8h 2 Rn ATTENTION : les conditions SDP et SDN ne sont pas suffisantes pour garantir l’existence d’un extremum. Théorème 2.7.5 [Condition suffisante de minimum local] Soient D un ouvert de Rn, f : D 7! R une fonction de classe C2 et x0 2 D. Si x0 est tel que : • x0 est un point critique pour f : Df(x0) = 0Chapter 2: Fonctions de plusieurs variables 37 • la

d’une contraction sur luimême. Ce phénomène physique générant de la chaleur, cet univers aurait fini par atteindre une température très élevée admise comme étant la température limite dans la théorie des Cordes. Cette contraction ayant atteint son extremum, l’univers ne peut que rebondir sur lui-même en se dilatant et en refroidissant. Dans ces deux hypothèses, on retrouve le préalable d’un univers déjà existant et subissant une transformation. Cependant, si la théorie des Cordes reste suffisamment

transitoire 5.2.2 Étude de l’impedance RLC en série donc Z = Z R + Z C + Z L alors Z = (R + r) + j(Lω − 1 ) Cω On tire que : Z= (R + r)2 + (Lω − 1 2 ) = Re Cω tan ϕ = 1 Cω R+r Lω − Cherchons si Z présente un extremum, pour cela calculons dZ = dω 1 + Q2 (x − 1/x)2 dZ : dω 1 1 )(L + ) Cω Cω 2 1 2 (R + r)2 + (Lω − ) Cω (Lω − dZ 1 1 = 0 =⇒ Lω = On retient que Z est minimale pour ω = ωo = √ et sa valeur dω Cω LC minimale est

d'une somme d'un produit, d'un quotient de deux fonctions dérivables, de la fonction xf(ax+b), f étant dérivable * Enoncé du théorème donnant le sens de variation d'une fonction dérivable à partir du signe de sa dérivable * Majorant, minorant, extremums d'une fonction 5- Exemples d'études de fonctions * Fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à 3 * Fonctions homographiques Avec a  0 et d 0 (mise en évidence, sur des exemples, de la notion d'asymptote oblique) Etude des fonctions

représentations graphiques de trois fonctions f, g et h. Dans chacun des cas, donner leur ensemble de définition D, préciser les extremums et en quels points ils sont atteints. Exercice 10. En utilisant les conventions graphiques, énoncer les variations de la fonction f représentée cidessous (la courbe est en deux parties). Préciser son ensemble de définition et ses extremums s’ils existent. Dresser le tableau de variations. Exercice 11. On définit une fonction f par son tableau des variations : x

donc le rayon pénètre nécessairement dans le prisme. A.2.2. sin(i1) = n sin(r1 ) ; sin(i2 ) = n sin(r2 ) A.2.3. comme angles à côtés perpendiculaires : A = r1 + r2 A.2.4. D = (i1 − r1 ) + (i2 − r2 ) = i1 + i2 − A di dD A.2.5. = 1+ 2 il y a donc un extremum pour D lorsque : di1 =- di2 . En différenciant di1 di1 les lois de Descartes : cos(i2 ) di2 = n cos(r2 )dr2 et cos(i1 )di1 = n cos(r1 )dr1 , de plus la relation cos(i1 ) cos(r1 ) A = r1 + r2 donne : dr1 = - dr2 . On tire de ces relations : = ce qui

| | |constrictas vix tamen continere potestis. Quid? si carpere singula et |per quaeque = et per quae  | |15 |extorquere et exaequari ad extremum viris patiemini, tolerabiles vobis | | | |eas fore creditis? extemplo simul pares esse coeperint, superiores |quibus omnibus constrictas (eas) : bien qu’elles