Extremum

d’abscisse 23) Où doit-on effectuer les recherches ? III/ On donne la fonction h : h ( x ) = −2 x 2 − 3x + 20 1°) Pour quelles valeurs de x , la fonction h est-elle définie ? 2°) Justifier les variations de la fonction h . 3°) Justifier l’existence d’un extremum. IV/ On donne la fonction g : 1 g ( x) = 2 x + 4x − 5 1°) Pour quelles valeurs de x , la fonction g est-elle définie ? 2°) Calculer g ( −2 ) . Ecrire simplement g ( x ) − g ( −2 ) de façon à en étudier le signe. Etudier suivant les valeurs de x

positive, alors f est strictement croissante sur ]a, b[. e e Si f admet un extremum local en x0 , et est d´rivable en ce point, sa d´riv´e s’annule en x0 e e e 5 Remarque 3. Un point o` la d´riv´e s’annule est appel´ un point singulier ; si la fonction repr´sente le u e e e e mouvement d’un point mobile, un point singulier correspond ` un temps o` le mobile s’arrˆte. La proposition a u e pr´c´dente nous dit que tout extremum d’une fonction d´rivable est un point singulier. La r´ciproque est e e

sauf en un nombre fini de valeurs où elle s’annule, alors f est strictement décroissante sur I. 4.3 Extrema d’une fonction : Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I ouvert. Théorème 5 (i) La fonction f présente un extremum local (maximum ou minimum) égal à f (a) en x = a si sa dérivée f ′ s’annule en a en changeant de signe. Si f ′ (x) < 0 pour x proche de a et x < a, f ′ (a) = 0, et f ′ (x) > 0 pour x proche de a et x > a, alors f (a) est un minimum local de f

02 2 0 avec 1 )/(       y Q y jy mF X e     Ry Q y y mF yX e , 1 )/( )( 2 2 22 2 0 0)(lim)(lim 2 0 0   yX m F yX y e y  Les y tels que soit un extremum sont exactement les y tels que)(yX      )( 2 2 221 yf Q y y  soit un extremum. )0( 2 1 1ou 0 0))1(2 1 (0 2 )2)(1(20)(' 2 2 22 2   y Q yy y Q y Q y yyyfOn a )(X )(yX Résonance d’élongation ouEtude de Systèmes vibratoires à un degré de liberté : Régime forcé 48

en 2 x g 0,5 −2 -0.25 2 4 Remarque importante : Même si le tracé de la courbe représentative d’une fonction reste "approximatif", le tableau de variation apporte une information complémentaire et précise ainsi le tracé de la courbe… II. Extremums d’une fonction Dire que f( a) est le maximum de f sur I signifie que f( a) est la plus grande valeur prise par la fonction sur I, c'est-à-dire qu’il n’y a pas de point de C plus haut que le point A( a;f( a)) Soit f une fonction définie sur un

f(x2). Une fonction monotone sur I est une fonction soit croissante sur I, soit décroissante sur I. d. Extremum Définition La fonction f admet un maximum f(a) en a sur l’intervalle I lorsque, pour tout x de I, f(x) ≤ f(a). La fonction f admet un minimum f(b) en b sur l’intervalle I lorsque, pour tout x de I, f(x) ≥ f(b). Exemple : Soi f la fonction représentée ci-dessous. Quels sont les extremum de f ? Pour quelles valeurs sont-ils atteints ? La fonction f admet un minimum en – 5 qui vaut –2 et

(qui restent dominantes). Aujourd'hui, 75% des couples sont mariés et 75% des enfants de moins de 18 ans vivent avec leur deux parents.  Ce qui se dessine est loin d'être très innovant au regard de la diversité des formes conjugales. (très loin des extremum) b) Des évolutions conformes aux valeurs démocratiques Pour François Singly, a écrit un livre dans lequel il dit que ce qui est étonnant est que ces transformations se soient transformées seulement dans les 90's car les sociétés démocratiques

0 | -5 | -8 | -9 | -8 | -5 | 0 | Programme de 1ière | * Si CF coupe l'axe des abscisses aux point d'abscisse x1 et x2 alors la forme factorisé et f est f(x) = a ( x - x1) ( x - x2 ) * Si CF admet est un extremum au point d’abscisse x0 alors la forme canonique de f est f( x) = a ( x - x0)² + f( x0 ) | 4) Variation : f(x) : ax² – bx – c Théorème : Si a &gt; 0 | | Si a &lt; 0 | x | -∞ -b +∞ 2a | | x | -∞

un extremum local M en a lorsque pour x prés de a, - M est la valeur minimale ou maximale de f. - f(a) = M. Exemple. Dans l’exercice précédent, à l’aide du tableau de variations on a vu que f admet trois extremums locaux : -44 est le minimum (global) de f atteint en 5, 1 est son maximum (global) 5 2 est un minimum local atteint en . atteint en 0 et 2 et − 27 3 Propriété. Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Si f’ s’annule en a en changeant de signe alors f(a) est un extremum local

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV Étude des variations d’une fonction IV.1 Lien entre dérivation et sens de variation d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.2 Extremum d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.3 Résolution de l’équation f (x) = λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . http://nathalie.daval.free.fr -1- BTS