Exercice corrigé i2-03 - Étude d'une fonction irrationnelleÉtude de fonctions irrationnelles - Exercice i2-03
Étudier la fonction f(x) =
√
−4x3
−x + 2 en traitant les points suivants :
a) domaine de définition;
b) zéro(s) et signe de f ;
c) limites et asymptotes (verticales et affines);
d) extremums et tableau de variations (sans faire usage de la dérivée seconde);
e) graphique.
Liste d’exercices corrigés: études de fonctions irrationnelles
Corrigé
a) Ensemble de définition f(x) est défini ⇐⇒ −4x3 …afficher plus de contenu…

−x + 2
≥ 0 xxx −∞−∞−∞ 000 222 ∞∞∞
Sign(-4 x3)Sign(-4 x3)Sign(-4 x3) + 0 − − −
Sign(-x+2)Sign(-x+2)Sign(-x+2) + + + 0 −
Sign( −4x
3
−x+2
)
Sign( −4x
3
−x+2
)
Sign( −4x
3
−x+2
)
+ 0 − ‖ +
Df =]−∞; 0]∪] 2;∞[
b) Signe de la fonction
Zf = {0} xxx −∞−∞−∞ 000 222 ∞∞∞
Sgn(f(x))Sgn(f(x))Sgn(f(x)) + 0 //// ‖ +
c) Limites et asymptotes lim x↓2 f(x) =
√
−32
0−
=∞; asymptote verticale simple x = 2 lim x →±∞ f(x) = lim x →±∞
√
−4x2
−1 + 2 x =∞; aucune asymptote horizontalehttps://www.deleze.name/marcel/mathematica/etude-fonctions/fonctions-irrationnelles/index.htmlÉtude d’une fonction irrationnelle - Corrigé de l’exercice i2-03 2 a1 = lim x →∞ f(x) x
= lim x →∞
|x|
x
√
−4x …afficher plus de contenu…

−4x3
−x+2
+ 2x
) = lim x →∞
−8(
−1 + 2 x ) (√ −4x
−x+2
+ 2
) = 2; asymptote oblique simple y = 2x + 2 du côté de +∞ b2 = lim x →−∞
(f(x)− a2x) = lim x →−∞
(√
−4x3
−x+2
+ 2x
)(√
−4x3
−x+2
− 2x
)
√
−4x3
−x+2
− 2x
= lim x →−∞
−4x3
−x+2
− 4x2√
−4x3
−x+2
− 2x
= lim x →−∞
−8x2
(−x + 2)
(√
−4x3
−x+2
− 2x
)
= lim x →−∞
−8(
−1 + 2 x ) (
−
√
−4x
−x+2
− 2
) = −2; asymptote oblique simple y = −2x− 2 du côté de −∞
d) Tableau de variations f ′(x) =
((
−4x3
−x + 2
) 1
2
)′
=
1
2
(
−4x3
−x + 2
)− 1
2
(
−4x3
−x + 2
)′
=
1
2
√
−x + 2
−4x3
(−12x2) (−x + 2)− (−4x3) (−1)
(−x + 2)2
=
1
2
√
−x + 2
−4x3
12x3 − 24x2 − 4x3
(−x + 2)2
=
1
2
√
−x + 2
−4x3
8x3 − 24x2
(−x + 2)2
=
1
2
√
−x + 2
−4x3
8x2(x− 3)
(−x + 2)2
=
4x2(x− 3)
(−x + 2)2
√
−x + 2
−4x3
Zf ′ = {3}Étude d’une fonction irrationnelle - Corrigé de l’exercice i2-03