Extremum

Ensemble bien ordonné Un ensemble ordonné ( E, ≤ ) est bien ordonné et la relation ≤ est un bon ordre si la condition suivante est satisfaite : Toute partie non vide de E possède un plus petit élément. On démontre que tout ensemble bien ordonné est totalement ordonné. En effet, soit [pic]un ensemble bien ordonné, et [pic]. D'après la propriété de bon ordre de [pic], l'ensemble [pic]admet un plus petit élément. En d'autres termes : [pic]. Si de plus l'axiome du choix dépendant est vérifié

SUITES MONOTONES. 1. Convergence des suites monotones. 1.1. Théorèmes de convergence. Propriété : toute suite croissante et majorée converge. Toute suite décroissante et minorée converge. Remarque : cette propriété ne donne pas la valeur de la limite mais uniquement son existence et une inégalité sur la limite. En effet, si (un) est croissante et majorée par le réel K alors pour tout n, un ≤ K et donc d’après le théorème de comparaison lim un # K . n! +" Propriété : une suite croissante

Chapitre 1: Second degré I - Fonction trinôme du second degré A - Rappels Définition On appelle fonction trinôme du second degré , toute fonction f définie sur ℝ par f  x =ax 2 bxc où a , b et c sont des réels et a≠0 B - Forme canonique Théorème 2 Pour tout réel x , on ax bxc=a   2 b b 2−4 ac x − 2a 4 a2  Cette forme est appelé forme canonique on note =b2−4 ac appelé discriminant Démonstration    b c ax bxc=a x   =a ax a 2 2    2 b b2 c x − 2  =a 2a 4a a 

1/5 Chap.6 : Le coût marginal I- Définition (« pratique ») du coût marginal A) Définition du coût marginal Le coût marginal est égal à la variation du coût total induite par une variation de la production. Coût marginal (Cm) = Variation du coût total (∆ CT) pour une variation de la production (∆ Q) La variation de la production peut correspondre à une unité (∆ Q = 1) ou à une série (de plusieurs unités : ∆ Q > 1). Coût marginal unitaire = Cm ∆ CT = ∆Q ∆Q Cm unitaire = Variation

f (resp. maximise f) sur A si f est partout définie sur A , et x? est un point de A vérifiant : • ∀x ∈ A f(x?) ≤ f(x) (resp. ≥) On appelle extremum de f sur A un minimum ou un maximum de f sur A . Exemple 1.1 • (1, 0) maximise, et (0, 1) minimise f = x2 − y2 sur le carré : A = [−1, 1 ]× [−1, 1 ]. • (0, 0) minimise g = x2 + y2, mais f n’admet aucun extremum sur l’intérieur de A Formellement, on représente le problème consistant à chercher un minimum (resp. un maximum) d’une fonction f de n variables

D’UNE FONCTION AFFINE, VARIABLES DISCRÈTES, VARIABLES CONTINUES, L’ORDONNÉE À L’ORIGINE, L’ABSCISSE À L’ORIGINE, LA RÉCIPROQUE D’UNE FONCTION, LE DOMAINE ET L’IMAGE (LE CODOMAINE), LES VARIABLES DÉPENDANTES ET INDÉPENDANTES, L’ÉTUDE DU SIGNE, LES EXTREMUMS (MINIMUM ET MAXIMUM), LES INTERVALLES CROISSANTES, CONSTANTES, DÉCROISSANTES, STRICTEMENT CROISSANTES ET STRICTEMENT DÉCROISSANTES. Une fonction affine est une fonction dont le taux de variation est constant car son graphique est représenté par

long terme d’une entreprise soit donné par CM = 100 + (150-Q)². Y a-t-il des économies ou des déséconomies d’échelle lorsque Q < 150 ? Lorsque Q > 150 ? Analysons cette fonction est cherchant un extremum. 100 + (150-Q)² = 100 + 150² - 2*150*Q + Q² dCM / dq = 0 -300Q +2Q = 0 Q = 150 150 est donc un extremum. Cherchons s’il s’agit d’un maximum ou d’un minimum d²Π / d²q = 2 > 0. Il s’agit donc d’un minimum. Ainsi, la fonction CM est décroissante jusqu’au point Q =150 puis devient croissante. Il y a

.. ...................................................................................................... ...................................................................................................... Exercice 3 (4 points). Cherchez les extremums de la fonction f : Df ⊆ R2 −→ R d´efinie par f (x, y) = xy, sous la contrainte x + y = 12. ...................................................................................................... ...................................................

ne change pas la fonction à maximiser, mais permet d’imposer à la solution de respecter cette contrainte. Les conditions du premier ordre définissent encore les conditions pour obtenir un extremum (maximum ou minimum), mais cette fois contraint : (1) ∂L/∂q1 U1 λp1 0 (conditions du premier ordre pour un extremum) (2) ∂L/∂q2 U2 λp2 0 (3) ∂L/∂λ R p1q1 p2q2 0 : la troisième condition ne fait que répéter la contrainte égalité. On en déduit : U1/p1 U2/p2 l et U2/U1 p2/p1 D’où : 1/ Le taux marginal de

ne change pas la fonction à maximiser, mais permet d’imposer à la solution de respecter cette contrainte. Les conditions du premier ordre définissent encore les conditions pour obtenir un extremum (maximum ou minimum), mais cette fois contraint : (1) ∂L/∂q1 U1 λp1 0 (conditions du premier ordre pour un extremum) (2) ∂L/∂q2 U2 λp2 0 (3) ∂L/∂λ R p1q1 p2q2 0 : la troisième condition ne fait que répéter la contrainte égalité. On en déduit : U1/p1 U2/p2 l et U2/U1 p2/p1 D’où : 1/ Le taux marginal de