Extremum

Fonctions Carr´ e et Inverse I. Rappels Propri´ et´ es du carr´ e d’un nombre r´ eel : ­ Le carr´e d’un nombre r´eel est positif ou nul, c’est-` a-dire : quel que soit le nombre r´eel x, x2 0. ­ Deux nombres r´eels oppos´es ont mˆeme carr´e, c’est-` a-dire : quel que soit le nombre r´eel x, (-x)2 = . x2 . Produits remarquables : Quels que soient les nombres r´eels a et b, ­ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ­ (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 ­ (a - b)(a + b) = a2 - b2 II. Fonction carr´e D´ efinition : La fonction

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 2 Calcul des dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 3 Extremum local, théorème de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 4 Théorème des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 12 Zéros des fonctions

J. 6448 99 MATH. II - MP ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHATJSSÉES, BCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAIJTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCgES, DES TeLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MlNES DE NANCY, DES TÉI,ÉCOMMIJNICATIONS DE BRETAGNE ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI) CONCOUKS D'ADMISSION 1999 MATHÉMATIOUES DEUXIkME ÉPREUVE FILIÈRE MP (Durée de l'épreuve : 4 heures) L'emploi de la calculette est interdit. Sujet mis Ci la disposition du

SUITES PLAN I : Corps des réels 1) Propriétés 2) Borne supérieure et inférieure a) Définition b) Droite achevée c) Partie entière 3) Intervalles 4) Suites II : Limite d'une suite 1) Préambule 2) Un exemple historique 3) Définitions 4) Opérations sur les limites 5) Inégalités et limites 6) Suites monotones 7) Suites adjacentes 8) Théorème de Bolzano–Weierstrass III : Suites particulières 1) Suites arithmétiques 2) Suites géométriques 3) Suites arithmético–géométriques 4) Suites récurrentes linéaires

FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN On a vu dans le chapitre sur les primitives que toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I. La fonction "inverse", définie sur ]0 ; +∞[ par ƒ(x) = 1 , admet donc des primitives. Parmi ces primitives F, x que nous ne sommes pas capables d'expliciter, une seule vérifie la condition F(1) = 0. C'est précisément cette fonction F qui s'appelle logarithme népérien. De cette définition se dégagerons progressivement diverses propriétés qui

TP5 : Etude d’une famille de fonctions. Les solutions de l’équation différentielle y  2y  ex ' x 2x fk ( x )  e k sont les fonctions fk définies sur R par :  ( x 1)e x . On note Ck la courbe représentative de fk . Le but de ce TP est d’étudier les variations de fk en discutant suivant les valeurs de k, et ensuite de déterminer l’ensemble des points des courbes Ck possédant une tangente horizontale. Conjectures émises à l’aide d’un logiciel. : On peut représenter les courbes à l’aide

Date : /0 /2011 Lundi : Arithmétique Calculer …..…..x………. /2.5 Calculer : ((…..)/(…..) -(…..)/(…..))/((…..)/(…..) x (…..)/(…..)) /2.5 Calculer : √(…..)+√(…..)-√(…..) /2.5 Résoudre le système suivant : {█(…..x+ …..y= …..@…..x+ …..y= …..)┤

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1er septembre 2014 Enoncés Limite et continuité Généralités sur les fonctions Exercice 1 [ 01779 ] [correction] Soit f : R → R telle que f ◦ f est croissante tandis que f ◦ f ◦ f est strictement décroissante. Montrer que f est strictement décroissante. 1 f (x) = ln x2 + 1 + x Exercice 3 [ 01783 ] [correction] Soit f : [0, 1] → [0, 1] une fonction croissante. Montrer que f admet un point fixe. Exercice 4 [ 00501 ] [correction] Soit f une fonction croissante

FONCTIONS DÉRIVÉES I. Savoir calculer une dérivée : • Exemple : Calculer la dérivée f ′(x ) dans chacun des cas suivants : f (x ) = 3x 4 + 5x − 1 g( x ) = 3 x h( x ) = • Méthode : On utilise les formules du calcul des dérivées. 3 x2 k ( x) = 2x + 1 x2 f(x) f '(x) f(x) f '(x) ax + b axn 1 x a naxn-1 1 − 2 x 1 2 x u(x) + v(x) u.v 1 u u v u'(x) + v'(x) u'.v + u.v' u′ − 2 u u′v − uv ′ v2 x • Solution : f (x ) = 3x 4 + 5x

Mathématiques L1 Cours de Jean-François Caulier TD de G.Arnould Date : 17/10/2014 Corrigé Contrôle Continu n°1 Exercice I (5pts) Ω C B (5) A (1) (2) (4) (3) (6) (8) (7) D (a) Grâce à la figure ci-dessus et en utilisant les opérateurs de l’union, l’intersection et du complémentaire, définissez les parties numérotées suivantes : i. ii. iii. (2) (4) (6)  (? ∩ ?) ∪ (? ∩ ?) ∪ (? ∩ ?) ou ? ∩ (? ∪ ? ∪ ?) (1) (5) (7)  (?\?) ∪ (?\?) ∪ (?\?) ou (? ∪ ? ∪ ?)\?) (1) (2) (8)  ? ∪ (?\ (? ∪ ? ∪ ? ∪