Extremum

négative. Pour exclure les zéros, il faut préciser, selon le cas, qu’on s’intéresse aux intervalles sur lesquels la fonction est strictement positive ou strictement négative. Exemple : La fonction f est strictement positive pour x ∈ ]2, 7[. Les extremums Définition Maximum Valeur la plus élevée de la fonction sur tout son domaine. Minimum Valeur la moins élevée de la fonction sur tout son domaine. Exemple Max f = 3 La fonction f n’a pas de minimum. La variation Définition Exemple Croissance

D(i) et détermination de l'angle d'incidence  ±im  pour lequel D est extrémale :  r  étant fonction de  i  on déduit, de l'expression du Ÿ précédent, que  D = D(i)  ; évaluer   en fonction de i, p et n et di démontrer que D passe par un extrémum pour deux valeurs opposées de i "s # notées  ±im  3 t.q.  im = arcsin (p + 1) − n2 2 2 dD (p + 1) − 1 calculer numériquement en degrés im et  Dm (im ) ainsi que Dm (−im )  pour  p = 1 et p = 2  4 . ; 1.  i  est algébrique

admet un extremum global sur I en a si et seulement si f admet un minimum global sur I en a ou un maximum global sur I en a. D´f 41.2. Soit a un point de I. e 1) On dit que f admet un maximum local sur I en a si et seulement s’il existe α > 0 tel que, pour tout x dans ]a − α ; a + α[∩I, on a : f (t) f (a). 2) On dit que f admet un minimum local sur I en a si et seulement s’il existe α > 0 tel que, pour tout x dans ]a − α ; a + α[∩I, on a : f (t) f (a). 3) On dit que f admet un extremum local sur

f (x) = k où k est un réel. TABLEAU DE VARIATION y J a 0 Cf M = f (a) b x I m = f (b) On résume les variations de la fonction f à l’aide du tableau de variation suivant : x −∞ a b +∞ M f (x) m EXTREMUM – Dire que la fonction f admet un maximum en a sur un intervalle I signifie que pour tout réel x appartenant à I, f (x) f (a). – Dire que la fonction f admet un minimum en a sur un intervalle I signifie que pour tout réel x appartenant à I

tout x ∈ I, alors f est strictement croissante (resp. décroissante) sur I. Extremum Soit f une fonction définie sur un intervalle I et x0 ∈ I ; on dit que f admet un maximum (resp. un minimum) local en x0 s’il existe un intervalle ouvert J ⊂ I, de centre x0 , tel que : ∀ x ∈ J, f (x) f (x0 ) (resp. f (x) f (x0 ) — Si f est dérivable en x0 , une condition nécessaire pour que f (x0 ) soit un extremum (maximum ou minimum) local en 0 est : f (x0 ) = 0. — Si f est dérivable sur

l’étude de f déduire que pour tout α de ]0, 1[ α ln x + (1 − α) ln y < ln(αx + (1 − α)y). Interprétation géométrique ? y−x < y. ln y − ln x [000715] [000721] Indication Correction Vidéo [000724] 3 Divers Exercice 9 Déterminer les extremums de f (x) = x4 − x3 + 1 sur R. Correction Vidéo [000733] Exercice 10 Soient f , g : [a, b] −→ R deux fonctions continues sur [a, b] (a < b) et dérivables sur ]a, b[. On suppose que g (x) = 0 pour tout x ∈]a, b[. 1. Montrer que g(x) = g(a) pour

La commerce a atteint son extremum et s’est prospérée durant la Califat islamique. A ce temps là, la commerce s’est développée et a dépassée la péninsule arabe à des parties de l’Europe, l’Afrique et l’extrême- Orient. Selon Ekelund et al. [ 1990, p.26] cinq siècles, de 700 a 1200, l’Islam a conduit le monde en tant que pouvoir, organisation, étendue du gouvernement, raffinement social et les normes de la vie, ainsi que la littérature, l’érudition, la science, la médecine et la philosophie…

La méthode de Cramer est d’application. résumé : optimisation libre fonction d’une seule variable Soit la fonction d’une seule variable f Où on suppose que : R → R : x → f ( x) dom f est un intervalle ouvert. Pour rechercher un extremum local de cette fonction : 1. Calculer la dérivée première f ' : R → R : x → f ' ( x) 2. Résoudre l’équation f ' ( x) = 0 Les solutions x * appartenant au domaine de définition de f sont des points stationnaires . La tangente au graphe de f

≃ ; autour de x0 . dx ∆x Il en résulte alors que: - La fonction est strictement croissante autour du point x0 si f ′ (x0 ) > 0, - La fonction est strictement décroissante autour du point x0 si f ′ (x0 ) < 0 et - La fonction f présente alors un extremum en x0 si f ′ (x0 ) = 0 et si la fonction f ′ change de signe autour de x0 . 2.2.1.1 Interprétation géométrique: Considérons une fonction réelle f d’une variable réelle définie sur un intervalle I entourant un point donné x0 ∈ I ⊂ Df dont le graphe

Remarque : ces résultats deviennent faux si I n’est pas un intervalle. G Si G Si 2. Extremum d’une fonction G Si la fonction f est définie et dérivable sur un intervalle ouvert I et si f ′ s’annule et change de signe en x0, alors f admet un extremum (maximum ou minimum) en x0. Cet extremum est égal à f ( x 0 ). G Si la fonction f est définie et dérivable sur un intervalle ouvert I et si f admet un extremum en x0 , alors f ′ s’annule en x0 . Remarque : si la dérivée s’annule en x0 , sans changer