Extremum

I, f (x) ≤ f ( x 0 ) , alors on dit que f ( x 0 ) est le maximum de f sur I. Si, pour tout x ∈ I, f (x) ≥ f ( x 0 ) , alors on dit que f ( x 0 ) est le minimum de f sur I. Dans les deux cas, on dira que f ( x 0 ) est un extrémum de la fonction f. Remarque Un extrémum est une des images, c’est une des valeurs prises par la fonction. Il ne faut pas confondre la valeur de l’extrémum, f ( x 0 ), avec le nombre x 0 . Séquence 6 – MA12 3 © Cned - Académie en ligne ̈ Exemple

. . . . . . . . . . 4 3.3 Dérivées partielles d'ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3.4 Développement limité d'ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 4 Extremums d'une fonction de deux variables 5 Brigitte Bonnet, Lycée International de Valbonne Avril 20112 1 Généralités 1.1 Un minimum de topologie de R2 Dé�nition 1 :La

Nom : _________________________________________________________________ Groupe : __________L’étude des fonctionsDevoir 1 (partie 2)1. Pour chacune des fonctions représentées ci-dessous, indiquer : a) b) Domaine : _________________________ Domaine : _________________________ Codomaine : _________________________ Codomaine : _________________________ Valeur initiale : _________________________ Valeur initiale : _________________________

Résolution graphique d’équations/d’inéquations f(x)= k, f(x)< k, f(x)=g(x)… - Fonction paire/impaire et traduction géométrique ; - Signe d’une fonction d’un point de vue graphique ; - Variations d’une fonction d’un point de vue graphique ; - Extrémums d’une fonction sur un intervalle d’un point de vue graphique 1°) Qu’est ce qu’une fonction ? Une fonction est un procédé qui permet, à partir d’un nombre de départ, d’obtenir un nombre d’arrivée. Plus rigoureusement : Un peu de calculs : exercices

DU SIGNAL PAR LES PICS-VALLEES SUR LEXADE. 1.1. Principe. La réduction du signal en Pics-Vallées par la méthode de l’hystérésis progressif consiste à retenir la suite de ses extremums "les plus significatifs" successifs. Cette méthode favorise la sélection des extremums : - Les plus importants en imposant que 2 extremums successifs diffèrent d’une valeur supérieure à une hystérésis. - Les plus éloignés de la valeur moyenne en diminuant progressivement la valeur de l’hystérésis lorsque le signal

l’allure d’un graphique. Ceux-ci seront très utiles pour tracer les fonctions des autres chapitres. L’étude d’une fonction comporte huit éléments : 1) Le domaine 2) L’image 3) L’ordonnée à l’origine 4) Le(s) zéro(s) 5) Le signe des images 6) Les extremums 7) Les intervalles de croissance et décroissance 8) L’axe de symétrie Chacun de ces points sera vu séparément, mais avant de commencer il serait bien de savoir ce qu’est une fonction. 1. Éléments de l’étude des fonctions Définition 1.1. Une fonction

général pas fermées. Dans la discussion suivante, on distinguera clairement les états liés et les états de diffusion de M par rapport au pôle G. B.7) Discussion : Dans le cas où p = 0,2, on désigne par [pic] le premier extremum (minimum) et par [pic] le second extremum (maximum) de l'énergie de M, E3 = 0,03474 (voir second graphique). a) Que se passe-t-il pour E = E0 ? En particulier que vaut [pic] ? Quelle est la nature du mouvement de M (trajectoire, vitesse angulaire ω...) ? Quelle est

les règles de dérivation pour déterminer la dérivée d’une fonction - Etudier, sur un intervalle donné, les variations d’une fonction à partir du calcul et de l’étude du signe de sa dérivée. Dresser son tableau de variation. - Déterminer un extremum d’une fonction sur un intervalle donné à partir de son sens de variation. Connaissances - Expression du rang n d’une suite géométrique - Fonction dérivée d’une fonction dérivable sur un intervalle I. - Fonction dérivée des fonctions de référence

constante sur I. Exemple : La fonction x  x 4 est strictement croissante sur s’annule. car sa dérivée est strictement positive sur sauf en 0 où elle Extremum Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I et a un élément de I. • Si f admet un extremum local en a alors f’(a) = 0. • Si f’ s’annule en a en changeant de signe alors f admet un extremum local en a.  Méthode : « Optimiser », fiche exercices n°2 « Les fonctions ».  Méthode : « Etablir une inégalité sur un intervalle », fiche exercices

présente un max (min) local en ssi un voisinage V de a tq . Un extremum a sera dit strict ssi un voisinage V de a tq Strict : « il y en a qu’un ». Donc une fonction qui atteint son max puis est constante (pour un moment), n’a pas de max strict. Proposition : Si a un extremum global en a alors f présente un extremum local en a Proposition : La condition nécéssaire Si est dérivable en a, pt intérieur de A Si f possède en a un extremum Alors CONDITION NECESSAIRE MAIS PAS SUFFISANTE ! (la dérivée