Extremum

1 Le corps R des nombres réels 1.1 Construction de R à l’aide des suites de Cauchy de nombres rationnels On explique brièvement dans ce paragraphe comment construire le corps R des nombres réels à partir du corps Q des nombres rationnels. L’ensemble N des entiers naturels peut être construit à partir de la notion de cardinal dans le cadre de la théorie des ensembles. Après avoir étudié la théorie des groupes, on construit l’anneau Z des entiers relatifs par symétrisation puis le corps Q des nombres

Suites r´ eelles et complexes Table des mati` eres I. Propri´ et´ es de R 1) Le corps des r´ eels 2) La droite num´ erique achev´ ee 3) Repr´ esentation d´ ecimale d’un r´ eel 4) Parties denses de R II. Limite d’une suite r´ eelle 1) D´ efinition 2) Op´ erations sur les limites 3) In´ egalit´ es et limites III. R´ esultats fondamentaux sur les suites r´ eelles 1) Suites monotones, suites adjacentes 2) Th´ eor` eme de Bolzano-Weierstrass IV. Exemples de suites r´ eelles 1) R´ esum´ e des m´

Correction du N° 63 p 71 1. La courbe a pour équation, ? = ?? ! + ?? ! + ?? + ?, elle représente donc la fonction définie par ?(?) = ?? ! + ?? ! + ?? + ?. Il faut déterminer a, b, c et d pour connaître cette fonction. On peut donc prévoir que le texte donnera 4 renseignements. Premier renseignement et deuxième renseignement: La courbe est tangente à la droite d’équation y = -1 au point A d’abscisse 0, cette droite est parallèle à l’axe des abscisses son coefficient directeur est 0 et le point A est

626 Lundi 05 janvier 2004. |Contrôle n°4. | La qualité de la rédaction et la clarté des raisonnements entreront en compte dans l’appréciation des copies. Le barème est sur 40.Ce barème pourra être modifié. Exercice 1 : (10 points) Calculez la dérivée (en précisant

Seconde FONCTIONS DE REFERENCE. Ch 07 I) Fonction carré : 1) Définition et propriétés : Définition 1 : La fonction carré est définie sur » par : carré. 2 f ( x ) = x 2 ; à tout nombre réel x, elle associe son ex : f ( −3) = ( −3 ) = 9 = 3 2 = f ( 3) . En fait, quelque soit x dans » , on a : f ( − x ) = ( − x ) = x 2 = f ( x ) ; donc : 2 Propriété 1 : La fonction carré est paire : pour tout x réel, on a : f ( − x ) = f ( x ) . Dans un repère orthogonal, sa courbe représentative

Brevet de technicien supérieur novembre 2008 - groupement A Nouvelle-Calédonie Exercice 1 12 points π On désigne par α un nombre réel positif tel que 0 < α < . 2 On considère la fonction f définie sur R, paire, périodique de période 2π, telle que :   f (t ) f (t )  f (t ) = = = 1 0 −1 si si si 0 t α α < t < π−α π−α t π 1. Dans cette question, le nombre réel α vaut π . 3 Dans un repère orthogonal, représenter graphiquement la fonction f sur l’intervalle [−2π ; 2π]. +∞ n=1

1ère ES 1: Correction du devoir libre de mathématiques nº3 Exercice 1: Voir courbe jointe (02_Fonctions_DM_03_correction_exo1.ggb) Exercice 2: Voir courbe jointe (02_Fonctions_DM_03_correction_exo2.ggb) Exercice 3: On trouve: C 1 correspond à la fonction y=−3 x 2 2 C 2 correspond à la fonction y= x 3 −1 2 C 3 correspond à la fonction y= x 5 C 4 correspond à la fonction 2 x 2 Exercice 4: 1) Sur l'intervalle [−4 ; 3] , f  x 0 2) Le minimum de f est −2 atteint en x=1 . 3) Le maximum est 0 atteint

Partie A La fonction h est définie sur l'intervalle [0 ; 8] par : h(x)= x^2+16x\2x+1-8ln(2x+1) • 1. Montrer que h’(x) = 2x (2x+5)(2x-3)\(2x+1)^2, h’ désignant la fonction dérivée de h sur l’intervalle [0 ;8]. 2. Étudier les variations de h sur l'intervalle [0 ; 8]. 3. Montrer que l'équation h(x) = 0 a une solution unique a dans l'intervalle [3\2 ;8] . Déterminer une valeur approchée de (alpha) , arrondie à 0,01 près. 4. Déduire des résultats précédents le signe de h sur l'intervalle

Baccalauréat C Liban juin 1978 E XERCICE 1 Dans cet exercice, pour noter les entiers, on utilise le système décimal. Soit E le sous-ensemble de N constitué des entiers n qui posséde les propriétés suivantes : – 4 divise n – n admet au moins dix diviseurs appartenant à N il existe un entier premier p tel que n = 37p + 1. 1. Quel est le plus petit élément de E ? 2. Existe-t-il un élément n, de E, vérifiant 26800 < n < 27800 ? 4 points → → − − Soit E un plan vectoriel euclidien rapporté à une base a

Proportions, pourcentages et indices Le taux de variation entre 2000 et 2006 est de : . valeur arrivé-val de dép/ val dép. * C*C’= évol globale. * Racine de c1*c2 = to d’évolution moyen . * Evol réciproque : 1/C. * Indice com pourcentage (tablo) Optimisation à deux variables * Inéquation : La droite d'équation 2x − 3y = 6 passe par les points (0 ; −2) et (3 ; 0), car : 2 × 0 − 3 × (−2) = 6 et 2 × 3 − 3 × 0 = 6. Par ailleurs, le point O(0 ; 0) n'appartient pas au bon demi-plan