Dm Nombre Complexes

cos(−nπt ) − sin(−nπt ) = + cos(nπt ) + sin(nπt ) S g (t ) = S f (−t ) = + 2 π2 2 π2 4 n=1 n nπ 4 n=1 n nπ 4. Soit h et k les fonctions définies sur R , périodiques de période 2, telles que : h(t ) = f (t ) + g (t ) et k(t ) = f (t ) − g (t )pour tout nombre réel t (a) Sur le document réponse n°1, à rendre avec la copie, tracer les courbes Ch h et k sur l’intervalle [−4; 4]. et Ck représentatives des fonctions et k, (b) On admet que les développements en série de Fourier S h et S k associés respectivement

Les polynômes A° Définitions : • Un monôme de variable x et à coefficient a est une expression de la forme a . xn dans laquelle a est un nombre réel non nul et n est un nombre naturel. • Le degré d’un monôme par rapport à une variable est l’exposant de cette variable dans le monôme. • Des monômes semblables sont des monômes qui ont la même partie littérale. • Des monômes opposés sont des monômes semblables dont les coefficients sont opposés. • Un polynôme est une

______ IIIREGIME SINUSOÏDAL FORCE ET NOTATION COMPLEXE En régime sinusoïdal forcé, la tension (ou l’intensité) étudiée est de la forme : u (t) = Ucos(ωt + ϕ). Les grandeurs U et ϕ ne peuvent pas être déterminées à l’aide des conditions initiales puisqu’à l’instant initial la tension n’était pas de cette forme (terme exponentiellement décroissant en plus). On a alors recours à la notation complexe pour les déterminer. III-1- Représentation complexe d’une grandeur sinusoïdale a- Exemple (à lire

−( 4+i) z 2 +(13+4i)z −13i=0 où z est un nombre complexe. a. Démontrer que le nombre complexe i est solution de cette équation. b et c tels que, pour tout nombre complexe b. Déterminer les nombres réels a , 3 2 z on ait : z −(4+i) z +(13+4i) z −13i=( z −i)(az 2+bz +c). c. En déduire les solutions de l’équation (E) d. Placer les solutions dans un repère (0 ; ⃗ , ⃗ i j) Exercice n°3 : Restitution organisée de connaissances z a. Démontrer qu’ un nombre complexe z est imaginaire pur si et seulement si

Exercices - Formules intégrales de Cauchy - Inégalités de Cauchy - Applications : corrigé Intégration complexe Exercice 1 - Avez-vous compris ? - L3/M1 Le chemin est paramétré par t → (t, t2 ), où t ∈ [1, 2]. On a donc, le long du chemin, z = t + it2 , dz = (1 + 2it)dt, et donc 2 I= 1 7 (t − it2 )(1 + 2it)dt = 9 + i. 3 Exercice 2 - - L3/M1 On peut paramétrer l’arc de cercle par z = 2eit , 0 ≤ t ≤ π. Il vient π/2 I= 0 (4e2it + 6eit )2ieit dt = −8 44 i− , 3 3 après un petit

Math´ematiques Alternatifs), en copyleft LDL. Les noms de leurs auteurs respectifs sont mentionn ´es en bas de page. L. Rosier SOMMAIRE 1er Semestre 1. Ensembles - Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2. Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3. Suites num´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 4. G´eom´etrie affine et euclidienne . . . . . . . . . . . . . .

ces cercles avec le suivant sont cocycliques (on prend bien sˆr u les points d’intersection autres que les sommets du pentagone int´rieur). e Cette propri´t´, en apparence assez myst´rieuse, s’inscrit dans un cadre bien ee e plus g´n´ral : ` un nombre n quelconque de droites du plan, on associe un point e e a ou un cercle selon la parit´ de n. Tous ces r´sultats de g´om´trie classique e e e e sont dˆs au g´om`tre anglais William Kingdon Clifford (voir [4] pour la preuve u e e originale), et d´montr´s

A cette époque, les deux grandes branches des mathématiques théoriques étaient la géométrie et l'arithmétique. En particulier, même si l'algèbre était connue, elle ne paraissait pas nécessairement bien adaptée pour traiter des problèmes sur les nombres entiers : la solution d'une équation à coefficients entiers n'est pas nécessairement entière. Fermat mit au point plusieurs méthodes pour mettre l'algèbre au service de l'arithmétique théorique, en particulier la méthode de descente infinie. 2

10 MAOSME 1 page 1/7 EXERCICE 1 : (6 points) Commun à tous les candidats Les deux parties de cet exercice sont indépendantes. Partie A : On considère l’équation différentielle (E) : . 1) Montrer que la fonction u définie sur l’ensemble des nombres réels solution de l’équation différentielle (E). 2) On considère l’équation différentielle (E') : par est une . Résoudre l’équation différentielle (E'). 3) Soit v une fonction définie et dérivable sur . Montrer que la fonction v est une

27 Il suffira de savoir calculer les racines de Q pour obtenir celles de P . p=c− Si l’on pose X = x+y, on trouve Q(X) = x3 + y 3 + (3xy + p)(x + y) + q , et donc, si (x, y) est solution du système (S) le nombre x + y est racine de Q. Inversement, si z est racine de Q, il existe deux nombres complexes x et y tels que x+y =z p , xy = − 3 et on a aussi 0 = Q(z) = x3 + y 3 + q . Donc (x, y) est solution de (S), et on obtiendra toutes les racines de Q en résolvant le système (S). 3xy + p = 0 , x3 + y 3 +