Dm Nombre Complexes

Transformations mathématiques Révisions avril 2009 I. Calcul d'intégrales et techniques utiles Intégration par partie uv'=u ' vv' u⇒ v' u=uv '−u' v⇒∫ v'u=[uv] – ∫ vu' Exemple :  I=∫ x ln x dx 1 u x=ln x   u'  x= x Exercice : I 2 =2 x sin x x v  x=             2 2 v' x =x I=uv – ∫ u' v⇒ I=ln x . x 1 I= ln x – ∫ x dx 2 2 x 1x I= ln x – 2 2 2 2 2 2 x 1x –∫ dx 2 x 2 2 2 x2 1 ⇒ I= ln x –  2 2 Emilie Cravero Avril 2009 Transformations mathématiques

x)2 m=1 n=1 N X n=N +1 +1 X ((n 1 N ) + (x + N ))2 N 8x 2 D , U (x) = UN (x) + U (x + N ) 2. Si x 2] N 1; N [ , x + N 2] 1; 0[ et donc x ! U (x + N ) est C 1 sur ] N 1; N [ , par composition de fonction C 1 :UN est une somme d’ nombre …ni de fonctions C 1 sur ] N 1; N [ , donc est C 1 sur ce domaine. un Donc par somme de fonctions C 1 , U 2 C 1 (] N 1; N [; R) . Comme D = ([N 2N ] N 1; N [) [] 1; +1[ , U est C 1 sur D. 3. D’ après le théorème de dérivation termes à termes du I

est décroissante 2) Soit w la suite définie par wn  v n  u n a) Montrer que w est une suite géométrique et déduire la limite de w b) Montrer que u et v convergent vers la même limite Exercice 5 : (6 points) On considère dans l’ensemble des nombres complexes a  2  i 2 et b  3  i 1) a) Ecrire a et b sous forme exponentielle b) Placer dans un plan rapporté à un repère orthonormé les points A(a), B(b) et C(a + b)   2) Mettre a.b sous forme algébrique et forme trigonométrique, puis déduire cos

Exercice 1 (bac S, Polynésie 1998, 10 points) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (O, u, v) d’unité graphique 1cm. On considère les nombres complexes a = 3 +1 3 −1 +i et z0 = 6 + 6i d’image A0 . Pour tout 4 4 entier n non nul on désigne par An le point d’affixe zn = a n z0 . 1. Exprimer z1 et a 2 sous forme algébrique. Ecrire z1 sous forme exponentielle et montrer 1 iπ que a = e 6 . 2 2. Exprimer z3 puis z7 en fonction de z1 et a 2 , en déduire l’expression de z3 et z7 en

FORMULAIRE – RESUME – MATHS en TERMINALE S COMPLEXES M(x,y) dans (O ; i , j ) a pour affixe z : z = x + i y dans C C Le conjugué de z est : z = x " iy ! ! Module de z : z = z z = x 2 + y 2 ! Forme trigonométrique : z = "(cos# + isin # ) où # = angle (i,OM) [2π] ! Forme exponentielle : z = "e i# (avec z = " et " = angle (i,OM) = argument de z) ! Conjugué de z : z = "e#i$ ! ! ! Soient A et B d'affixes zA zB alors AB a pour affixe zB - zA et AB = zB " zA ! Propriétés des modules z =z ;

France septembre 2002 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; u , v ) d’unité graphique 4 cm. On note A et B les points d’affixes respectives 1 et i. À tout point M, distinct de A et d’affixe z, est associé le point M′ d’affixe Z (1 − i) ( z − i) définie par : Z = . z −1 1. a. Calculer l’affixe du point C′ associé au point C d’affixe − i. b. Placer les points A, B et C. 2. Soit z = x + i y où x et y désignent deux nombres réels. x 2 + y 2 −1 ( x − 1) 2 + ( y − 1) 2 − 1 a

Terminale S novembre 2004 Nouvelle-Calédonie 1 Exercice 1 (5 points) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct [pic], on considère l’application f du plan dans lui-même qui, à tout point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’ telle que : [pic]. 1. Soient A et B les points d’affixes [pic] et [pic]. a. Calculer les affixes des points A’ et B’ images des points A et B par f. b. On suppose que deux points ont la même image par f. Démontrer qu’ils sont confondus

Second degré 1 Forme réduite et forme canonique Définition : Une fonction polynôme f de degré n est une fonction définie sur Ë par f( x)=an x n +an−1 x n−1+… +a2x 2+a1x+a0 où les coefficients a0, a1 ,…, an−1 sont des réels quelconques et an est un réel non nul. Première ES / L Exemples : • f : x → 5x 6+2x 3−1 et g : x → x 3−x sont des fonctions polynômes de degrés respectifs 6 et 3. 2x 2+3x+1 • u : x → x+1 et v : x → ne sont pas des fonctions polynômes. x−1 Propriété : (admise et Hors Programme)

est ramenée à 0. 1) Dans le plan complexe, on donne les points A, B et C d’affixes respectives −2 + 3i, −3 − i et 2, 08 + 1, 98i. Le triangle ABC est : (a) : isocèle et non rectangle (c) : rectangle et isocèle (b) : rectangle et non isocèle (d) : ni rectangle ni isocèle 2) L’ensemble des points M d’affixe z tels que |z ′ | = 1 est : (a) : un cercle de rayon 1 (c) : une droite privée d’un point A tout nombre complexe z = −2, on associe le nombre complexe z ′ défini par : z ′ = (b) : une droite

ensuite sous une racine pour avoir la variance. S’il y a deux groupes à comparer, on fera l’écart type pour les deux groupes et on les comparera entre eux. 3. TEST T DE STUDENT . Le T factor = pour les croisements (*) S= écart type N = nombre de sujets au total Sintra = formule plus bas 1. Construire le PdP si ce n’est pas déjà fait 2. Calculer dOBS (=moyenne des différences) 3. Calculer E à partir de S (écart type corrigé) Deux cas sont possibles pour ce calcul Dans la calculette