Dm Nombre Complexes

NOMBRES COMPLEXES Au début du XVIème siècle, le mathématicien Scipione dal Ferro, propose une formule donnant une solution de l'équation du 3ème degré x 3 + px = q : x= 3 q - q 2 + 4 p3 27 + 2 3 q + q 2 + 4 p 3 27 2 A la fin du XVIème siècle, le mathématicien Bombelli applique cette formule à l'équation x 3 - 15x = 4. Il obtient littéralement : x= 3 2 - 11 -1 + 2 + 11 -1 -1 . 3 Cette écriture n'a, a priori, pas de sens puisqu'on ne sait pas ce que représente le symbole

La partie II peut ˆtre trait´e ind´pendamment des parties I et III. e e e Partie I +∞ On consid`re la s´rie enti`re e e e n=1 n−s z n de la variable complexe z, o` s est un nombre u r´el donn´. e e I.1 D´terminer le rayon de convergence de cette s´rie enti`re. e e e I.2 Dans cette question, z = eiθ d´signe un nombre complexe de module 1. e +∞ I.2.1 Etudiez la convergence de cas o` s ≤ 0. u n=1 n−s z n dans le cas o` s > 1 ainsi que dans le u +∞ I.2.2 Dans le cas o` 0 <

  P. Delezoide 30 Mai 2000 I 1 Nous utilisons les in´galit´s bien connues e e ∀u ∈ IR+ 0 < e−u ≤ 1 , ∀t > 0 | sin t| ≤ inf{1, t} sin t n t (1) est continue D’apr`s les th´or`mes g´n´raux, la fonction (x, t) → e−xt e e e e e sur [0, +∞[×]0, +∞[, et d’apr`s les in´galit´s (1) : e e e ∀(x, t) ∈ [0, +∞[×]0, +∞[ e−xt sin t t n ≤ inf 1 ,1 tn (2) La fonction t → inf {t−n , 1} est int´grable sur ]0, +∞[ : elle est continue, vaut e 1 sur ]0, 1], et elle est int´grable au voisinage

10 MAOSME 1 page 2/7 EXERCICE 1 : (6 points) Commun à tous les candidats Les deux parties de cet exercice sont indépendantes. Partie A : On considère l’équation différentielle (E) : . 1) Montrer que la fonction u définie sur l’ensemble des nombres réels par est une solution de l’équation différentielle (E). 2) On considère l’équation différentielle (E') : . Résoudre l’équation différentielle (E'). 3) Soit v une fonction définie et dérivable sur . Montrer que la fonction v est une solution

fORMULAIRf FORMULAIRE NOMBRES COMPLEXES, GEOMETRIE A. Nombres complexes Dans Ie repere orthonormal affixe z. (0 ; D, iT) Ie point M(x ; y) , ou (x; y) E 1R2, a pour Z a pour forme algebrique x + iy . Partie reel Ie de z: Partie imaginaire Conjugue Re (z) =x de z : 1m (z) = y de z : z = x - iy Module de z I zl = Jll= Jx2 + y2 : z = p( cos 6 + i sin 6) : z = peiS Si Z;to 0 , trigonometrique Izl=p arg z=6 [2 'IT] z a pourforme Moduledez: Argumentdez:

polynôme de degré n dont les racines sont réelles, simples, et appartiennent à [−1, 1]. Indication Correction Vidéo Exercice 7 Dans l’application du théorème des accroissements finis à la fonction f (x) = αx2 + β x + γ sur l’intervalle [a, b] préciser le nombre “c” de ]a, b[. Donner une interprétation géométrique. Correction Vidéo Exercice 8 Soient x et y réels avec 0 < x < y. 1. Montrer que x< 2. On considère la fonction f définie sur [0, 1] par α → f (α) = ln(αx + (1 − α)y) − α ln x − (1 − α) ln y. De l’étude

juin 2010 E XERCICE 1 Commun à tous les candidats Les deux parties de cet exercice sont indépendantes. Partie A : On considère l’équation différentielle (E) : y ′ + y = e−x . 6 points 1. Montrer que la fonction u définie sur l’ensemble des nombres réels R par u(x) = xe−x est une solution de l’équation différentielle (E). 3. Soit v une fonction définie et dérivable sur R. Montrer que la fonction v est une solution de l’équation différentielle (E) si et seulement si la fonction v − u est solution

abValeur absolue d’un nombre I. Cours Définition : Soit x un nombre réel. On appelle valeur absolue de x , notée | x |, le nombre positif ou nul tel que : | x | = x si x ≥ 0 | x | = − x si x ≤ 0 Exemples : |20| = 20 |-3| = 3 |1-π| = π-1 car 1-π < 0 Interprétation graphique de la valeur absolue : Soit M le point image de x . On a | x | = OM. x M 0 Propriétés : Pour tout x réel, on a : |x| ≥ 0 | x | = | −x | x² = | x | Valeur absolue d’un produit : xy = x y x x = y y Valeur absolue d’un

De Moivre devient membre associé de cette société. Ses recherches les années suivantes concernent l'astronomie et diverses méthodes de résolution d'équation. C'est dans un mémoire de 1707 qu'apparait la formule exprimant un sinus en terme de nombres complexes, ce qui contient ce qu'on appelle désormais la formule de De Moivre : (cos x+isin x)n=cos(nx)+isin(nx). Très ami avec Newton, de Moivre est nommé en 1712 président de la commission mise en place par la Royal Society de Londres pour trancher le

d’angles particuliers, - dérivabilité d’une fonction, - équation de tangente à une courbe, - variations d’une suite, - convergence d’une suite, - formule d’intégration par parties, - primitives et dérivées usuelles, - lois de probabilités, - écriture complexe d’une transformation, - traductions géométriques d’un module ou d’un argument, - équations d’un plan dans l’espace, etc. Ces questions supplémentaires (en plus de vos exercices) seront pour le correcteur l’occasion « d’ajuster » votre note ! A