Dm Nombre Complexes

arbitrairement θu = 0 ). Notation complexe : IR UR x 0 On a UR = ZR IR avec ZR = R + j0 ou ZR = [R;0] . 3- La bobine parfaite Représentation de Fresnel : I- RAPPELS SUR LES DIPÔLES ÉLÉMENTAIRES 1- Généralités Si un dipôle linéaire est soumis à une tension sinusoïdale 0 θu=0 θi UL x i(t) Dipôle u(t) iL est en quadrature retard sur uL, on peut, par exemple, placer UL sur l'axe Ox en prenant arbitrairement θu = 0 ). Notation complexe : u(t) = U 2 sin(ωt) ; il sera

dérivable. On ne mentionne ici que les plus classiques. Variables multiples Arnaud Guyader - Rennes 2 4 Coordonnées polaires Chapitre 1. Fonctions de plusieurs variables Ce changement correspond à celui déjà rencontré au lycée pour les nombres complexes (figure 1.4) : passage de la décomposition (module/argument) à la décomposition (partie réelle/partie imaginaire). ϕ: {(0, 0)} ∪ Ê∗ × [0, 2π[→ Ê2 + (ρ, θ) → (x, y) = (ρ cos θ, ρ sin θ) Ceci définit exactement une bijection de l’ensemble de départ

Sommaire 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Second degré 5 Trigonométrie 18 Fonctions de référence 30 Fonction dérivée 49 Applications de la dérivation 61 Suites 76 Statistiques et probabilités 90 Produit scalaire 103 Nombres complexes 113 C H A P I T R E 1 Activités Activité Second degré 1 Trajectoire d’une fusée expérimentale O b j e c t i f : montrer l’utilité de résoudre une équation ou une inéquation du second degré à travers

Définitions, développement de Taylor et erreur de troncature 1. À L’aide d’une méthode numérique, on a évalué la dérivée d’une fonction pour deux valeurs de h : h 0,1 0,05 f (x0 ) erreur absolue 25,312 100 0,000 400 25,312 475 0,000 025 (a) Donner le nombre de chiffres significatifs de chaque approximation. (b) Quel est l’ordre de précision de la méthode de différentiation numérique utilisée? Référence : A. Fortin, chap. 1, no. 25 [Indice] [Solution] [TdM ] 2. Dire si l’énoncé suivant est vrai ou faux et

Les nombres complexes. mardi 13 septembre 2011 14:43 1) Definition On note C l'ensemble des nbres complexes z qui s'ecrivent sous la forme z=ax+iy avec i le nombre imaginaire pur tel que i²=-1 ; x et y La notation z=x+iy est appelée forme cartesienne de z. Le nombre reel x est appelé partie réelle de z. On le note x=Re(z). Y est appelé partie imaginaire de z. On le note y=Im(z) Soient z, z' z=z' avec z=x+iy et z'=x+iy' Un nombre complexe z est imaginaire pur si Re(z)=0 2) Opération sur C A) Addition

d’écriture complexe z ' = 3iz − 1 − 7i 1 a) Déterminer les éléments caractéristiques de S. b) Déterminer une équation de l’image de la droite (BC) par S. z B = 2 et zC = 3 − i 2) Déterminer une équation du cercle C ' image par S du cercle C d’équation ( x − 2) 2 + y2 = 1 EXERCICE 2 Les points A, B, C et D ont pour affixes respectives 2 ; -2 -2 i ; et 2 i 1 a) Déterminer le rapport et l’angle de la similitude directe S1 de centre A qui transforme B en C b) Donner l’écriture complexe de S1 , déterminer

Définition L’ensemble des complexes c contient l’ensemble R des réels. Les calculs dans C sont identiques à ceux dans R ∃i∈C, i2=-1 Ecriture algébrique : z=x+iy * x est la partie réele de z notée Re(z) * y est la partie imaginaire de z notée Im(z) Ecriture trigonométrique : z=r(cosθ+isinθ) * r=x2+y2 est le module de z noté z * θ est appelé l’argument de z noté argz[2π]. On calcule  cosθ=xrsinθ=yr pour connaitre θ. B- Opération sur les Complexes Opposé : z=x+iy↔-z=-x-iy

f (x(t)) dt o` x est une fonction d´finie sur un intervalle de R ` valeurs dans Rd . La norme euclidienne usuelle de Rd sera not´e . u e a e et B(x, r) d´signera la boule ouverte de centre x et de rayon r. On notera Re z la partie r´elle du nombre complexe z. La e e diff´rentielle de f en un point x0 ∈ Rd sera not´e df (x0 ). Soit x0 ∈ Rd et trois r´els t1 < t0 < t2 . On dira qu’une solution e e e x ∈ C 1 ([t1 , t2 ], Rd ) de (E) passe par x0 ` l’instant t0 si x(t0 ) = x0 . Une solution x(t) de (E)

Nombres complexes Exercice 1. zi + zj 1) Soient u, v ∈ C. Montrer que |u + v| + |u − v| 4 |u| + |v|, et d´terminer les cas d’´galit´. e e e 3 4 2) Soient z1 , z2 , z3 , z4 ∈ C. Montrer que k=1 |zk | k=1 =k+1 |zk + z |. ´ Exercice 2. Equations affines 1) Montrer que toute droite du plan a pour ´quation complexe : az + az = b avec a ∈ C∗ , b ∈ R. e 2) Soient a, b, c ∈ C, a, b non tous deux nuls. Discuter la nature de E = {z ∈ C tq az + bz = c}. Exercice 3. Transformation C \ {i} −→

autorisées. Les calculatrices permettant d’afficher des formulaires ou des tracés de courbe sont interdites. Leur utilisation sera considérée comme une fraude. (Cf. Circulaire n° 5990/OB/DIR. du 12.08.1988). EXERCIE 1 (03 points) Une étude sur le nombre d’années d’exercice X, des ouvriers d’une entreprise et leur salaire mensuel Y en milliers de francs, a donné les résultats indiqués dans le tableau ci-dessous avec des données manquantes désignées par a et b. X Y 75 125 175 225 a 0 2 0 5 7 0 1 8450