Exercices - Formules intégrales de Cauchy - Inégalités de Cauchy - Applications : corrigé Intégration complexe
Exercice 1 - Avez-vous compris ? - L3/M1 Le chemin est paramétré par t → (t, t2 ), où t ∈ [1, 2]. On a donc, le long du chemin, z = t + it2 , dz = (1 + 2it)dt, et donc
2

I=
1

7 (t − it2 )(1 + 2it)dt = 9 + i. 3

Exercice 2 - - L3/M1 On peut paramétrer l’arc de cercle par z = 2eit , 0 ≤ t ≤ π. Il vient π/2 I=
0

(4e2it + 6eit )2ieit dt =

−8 44 i− , 3 3

après un petit calcul... Une autre façon de procéder est de remarquer que, dans l’ouvert C, la fonction z → z 2 + 3z admet une primitive, égale à F : z → z 3 /3 + 3z 2 /2. On a alors, et ceci ne dépend en fait pas du chemin suivi : I = F (2) − F (2i). Bien sûr, on doit trouver le même résultat !

Exercice 3 - Indice d’une ellipse - L3/M1 On va construite une homotopie, dans C∗ , entre le chemin γ et le cercle de centre 0 et de rayon a. Comme on sait que celui-ci est d’indice 1 par rapport à 0 et que l’indice est invariant par homotopie, on obtiendra que Indγ (0) = 1. L’idée est de déformer le cercle en ellipse, par exemple en posant F (u, t) = a cos(t) + i(ub + (1 − u)a) sin(t), 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ t ≤ 2π. On a |F (u, t)|2 = a2 cos2 (t) + (ub + (1 − u)a)2 sin2 (t) > 0 puisque a2 > 0 et (ub + (1 − u)a)2 > 0. F est clairement continue. De plus, F (1, t) = γ(t) et F (0, t) = aeit . D’où le résultat.

Applications de la formule de Cauchy
Exercice 4 - Une intégrale ! - L3/M1 On commence par calculer l’intégrale en utilisant le paramétrage. On a dz z
2π

=
0 2π

γ

=
0 2π

=
0 2π

=
0

−a sin t + ib cos t dt a cos t + ib sin t (−a sin t + ib cos t)(a cos t − ib sin t) dt a2 cos2 t + b2 sin2 t −a2 sin t cos t + aib sin2 t − aib cos2 t + b2 cos t sin t dt a2 cos2 t + b2 sin2 t (b2 − a2 ) cos t sin t + iab dt. a2 cos2 t + b2 sin2 t 1

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D’autre part, γ est le