Dm Nombre Complexes

LYCÉE AUGUSTE RENOIR M ATHÉMATIQUES T ERMINALE S2 Devoirs maison Didier C HALU Année 2014 - 2015 TS2 - DM n°1 - Année 2014 - 2015 DM n°1 -10 septembre 2014 On rappelle qu’une affirmation non justifiée n’est pas, sauf mention contraire, prise en compte ! Une association décide d’ouvrir un centre de soin pour les oiseaux sauvages victimes de la pollution. Leur but est de soigner puis relâcher ces oiseaux une fois guéris. Le centre ouvre ses portes le 1er janvier 2013 avec 115 oiseaux. Les

Bac S 2004 -Sujet national Suites - Géométrie et complexes – Probabilité - Équations différentielles. Annales bac S non corrigées : http://debart.pagesperso-orange.fr/ts Document Word : http://www.debart.fr/doc/bac_2004/bac_s_national_2004.doc BACCALAUREAT GENERAL Session 2004 Épreuve : MATHEMATIQUES Série : S Durée : 4 heures Coef. : 7 ou 9 OBLIGATOIRE et SPECIALITE Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur Le

Terminale S Juin 2011 Polynésie Exercice 1 Donc z 3n ∈ iℝ ⇔ arg z 3n = ± ( ) π 2 [ 2π ] ⇔ n π 2 =± π 2 [ 2π ] ⇔ n impair. la proposition 3 est fausse. 4. Soit z un nombre complexe non nul. → Proposition 4 : Si Si π 2 Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct ( O; u , v ) . 1. Soient A le point d’affixe 2 − 5i et B le point d’affixe 7 − 3i. → Proposition 1 : Le triangle OAB est rectangle isocèle. Méthode 1 : π 2 est un argument de

peuvent être très simples aussi ! Un DM donne lieu (autant que possible) à une note sous forme de lettre (A, B, ..., E) et (toujours) à la remise d’une correction écrite. Ils n’entrent pas en compte dans l’évaluation chiffrée de l’élève, mais participent à l’appréciation écrite. Un DM peut être fait en petit groupe, mais il est exigé une copie par élève. Un DM réalisé personnellement et sérieusement sera toujours apprécié, même si tout n’est pas fait. Recopier un DM ou une correction ne sert strictement

d’inconnue complexe z. 1. Résoudre dans C l’équation Z 2 + 4Z + 16 = 0. Écrire les solutions de cette équation sous une forme exponentielle. 2. On désigne par a le nombre complexe dont le module est égal à 2 et dont un argument est π égal à . 3 Calculer a 2 sous forme algébrique. En déduire les solutions dans C de l’équation z 2 = −2 + 2 i 3. On écrira les solutions sous forme algébrique. 3. Restitution organisée de connaissances On suppose connu le fait que pour tout nombre complexe z = x + i y

donc [(1 + i)3 ]2 = −8i donc le nombre complexe z = (1 + i)3 est solution de (E) ; or (1+i)3 = (1+i)2 (1+i) = (1+2i−1)(1+i) = −2+2i. Conclusion : −2 + 2i est une solution de (E). b. z2 = −8i, d’où z2 − (−8i) = 0 ⇐⇒ z2 − (−2 + 2i)2 = 0 ⇐⇒ [z − (−2 + 2i)] [z + (−2 + 2i)] = 0. On retrouve la solution précédente et aussi le nombre complexe 2 − 2i autre solution de l’équation (E). Correction du baccalauréat S 3. (1 + i)6 = −8i ⇐⇒ [(1 + i)2 ]3 = −8i. Le nombre complexe (1 + i)2 = 2i est solution de

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7 Nombres complexes 7.1 Généralités . . . . . . . . . 7.2 Conjugué et module . . . . 7.3 Équations du second degré . 7.4 Propriétés géométriques . . 7.5 Exponentielle complexe . . 7.6 Cercles et rotations . . . . 7.7 Exercices . . . . . . . . . . 8 Logarithme 8.1 Construction . . . . 8.2 Propriétés . . . . . 8.3 Fonctions puissances 8.4 Exercices

Pour le processus AR(2): yt = φ1 yt−1 + φ2 yt−2 + εt avec φ1 = 0.5 et φ2 = −0.8, i. Montrer que les valeurs propres de ce système dynamique sont: λ1 (= µ1 ) = 0.25 + 0.86i et λ2 (= µ2 ) = 0.25 − 0.86i ii. Sachant que R est le module du nombre complexe λ1 , que la fréquence des oscillations est donnée par le paramètre θ (tel que cos θ = φ1 /2R) et que la période du cycle est égale à 2π/θ, vérifier que cette période est égale à 4.9. 2 iii. Vérifier sur le graphique de la fonction d’autocorrélation

d’inconnue complexe z. 1. Résoudre dans C l’équation Z 2 + 4Z + 16 = 0. Écrire les solutions de cette équation sous une forme exponentielle. 2. On désigne par a le nombre complexe dont le module est égal à 2 et dont un argument est π égal à . 3 Calculer a 2 sous forme algébrique. En déduire les solutions dans C de l’équation z 2 = −2 + 2 i 3. On écrira les solutions sous forme algébrique. 3. Restitution organisée de connaissances On suppose connu le fait que pour tout nombre complexe z = x + i y

physiques lorsque la résolution théorique est trop complexe. Supposons qu’une loi physique s’écrive sous la forme a = f(x,y,z) : la grandeur a est fonction des grandeurs (dimensionnées) x, y et z qui sont supposées indépendantes (c’est-à-dire que l’on ne peut pas mesurer l’une d’entre elles en fonction des unités des deux autres). On suppose en outre que la loi physique étudiée peut s’exprimer sous la forme mathématique d’un produit. Il existe alors trois nombres réels α, β et γ ainsi qu’une constante sans