Cours Produit Scalaire

3: Soit q ∈ Q(E). Montrer que ∀x, y, z ∈ E, q(x + y + z) = q(x + y) + q(y + z) + q(z + x) − q(x) − q(y) − q(z). −→ − 1 Exercice 4: Soit q ∈ Q(Rn ) de forme polaire ϕ. Montrer que ∀x, y ∈ Rn , ϕ(x, y) = 2 < gradq(x), y > où < ., . > désigne le produit scalaire usuel sur Rn . Exercice 5: Donner dans chaque cas la matrice, la forme polaire associée, la décomposition en carrés, le rang, la dégénérescence, la signature et la positivité des formes quadratiques suivantes : 1) q(x, y) = 2x2 − 4xy + 5y 2 2)

= I3 et U est bien orthogonale. Il reste ` calculer U : a   0 1 0 U = ΓP D−1t P =  −1 0 0  . 0 0 −1  3. On a, pour A = (ai,j ) et B = (bi,j ) matrices de Mn (R) : (A | B) = 1≤i,j≤n ai,j bi,j . L’application ( | ) est donc le produit scalaire canonique de Mn (R), pour lequel la base canonique est une base orthonormale. 4. M + tM M − tM M + tM M − tM + avec ∈ Sn (R) et ∈ An (R). Comme 2 2 2 2 An (R) ∩ Sn (R) = {0}, les deux espaces sont suppl´mentaires. Ils sont ´galement orthogonaux

Exercice 2 1. D´eterminer les valeurs propres et vecteurs propres de la matrice   1 0 1 A= 0 1 0  1 0 2 2. En d´eduire une diagonalisation de la matrice A dans une base orthonorm´ee. Exercice 3 Soit E un espace euclidien de dimension n muni du produit scalaire not´e < ·, · > et f un endomorphisme non nul de E qu’on suppose antisym´etrique, c’est-`a-dire tel que < f (x), y >= − < x, f (y) > pour tous x, y ∈ E. 1. Si F est un sous-espace vectoriel de E on note F ⊥ son orthogonal, d´efini par F ⊥ =

2 : PRODUIT SCALAIRE-ORTHOGONALITE CHAP TRE 2 : I- Produit scalaire dans et Espace euclidien ........................................................... 2 I-1 Définitions ...................................................................................................................................................... 2 I-2 Matrice d'un produit scalaire .......................................................................................................................... 3 I-3 Produit scalaire

18/02/2013 TD 16 : Espace euclidien Rn M P SI:2012−2013 Exercice 1 On se place dans R4 muni du produit scalaire euclidien. 1. Déterminer une base orthogonale du sous-espace vectoriel E engendré par u1 = (1, 0, 0, −1) et u2 = (−1, −1, 1, 1). En déduire une base orthonormale de E . 2. Déterminer le sous-espace vectoriel orthogonal de E , E ⊥ . En déduire une base orthonormale de E ⊥ . a) b) c) Donner une base orthonormale de R4 autre que la base canonique. Quelles sont les coordonnées

euclidiens Dans ce chapitre, on travaille seulement avec le corps de base R. Les lettres n, p, q . . . désignent des entiers naturels non nuls. Produit scalaire, norme et distance 1 1.1 Produit scalaire Définition (Produit scalaire, espace préhilbertien réel, espace euclidien) • Soit E un K-espace vectoriel. On appelle produit scalaire sur E toute forme bilinéaire symétrique définie positive, i.e. toute application (·|·) : E × E −→ R : ¬ ¡   λx + µy ¬z = λ(x|z) + µ(y|z) 1) bilinéaire

Version corrigée Fiche d’exercices Produit scalaire Page 1 sur 13 A Définition du produit scalaire A.1 Faire ses gammes 1 (Formule de base du produit scalaire) Calculer le produit scalaire −→u · −→v . 1. ‖−→u ‖ = 2, ‖−→v ‖ = 5 et (−→u ,−→v ) = π 6 . 2. ‖−→u ‖ = 3, ‖−→v ‖ = 1 et (−→u ,−→v ) = π 3 . 3. ‖−→u ‖ = 5 4 , ‖ −→v ‖ = 1 5 et (−→u ,−→v ) = −2π 3 . Solution : 1. −→u · −→v = ‖−→u ‖ × ‖−→v ‖ × cos(−→u ,−→v ) = 2× 5× cos(π6 ) = 10× √ 3 2 = 5 √ 3 2. −→u · −→v = 3 2 3. −→u · −→v = 5 4 × 1 5 × (−

(https://www.annales2maths.com/)    1ère – Cours – Produit scalaire Produit scalaire I Définition Définition 1 (norme d’un vecteur) : On considère un vecteur et deux points et tels que . On appelle norme du vecteur  le nombre . Définition 2 (produit scalaire) : On considère deux vecteurs non nuls et et trois points , et tels que et . On appelle produit scalaire de et le réel, noté défini par : Remarque : Par convention, si ou si alors . →u A B AB = →u −→ u →u = AB∥ ∥ →u →v A B C

............................................................ 3 3. Le produit................................................................................................................................................ 3 La multiplication d’une matrice avec un scalaire............................................................................................ 3 Propriétés de la multiplication entre une matrice et un scalaire .....................................................................

Produit vectoriel L1 – PMI 23 novembre 2010 1 Aire algébrique d’un parallélogramme dans le plan Dans un plan (affine euclidien), on choisit un repère orthonormé (O, u, v). On oriente le plan en décrétant que cette base est directe. 1.1 Aire géométrique Considérons un parallélogramme ABCD non aplati dans ce plan. Notons α0 une mesure de l’angle géométrique B̂AD : c’est un réel strictement compris entre 0 et π. Notons H le projeté orthogonal de B sur la droite (AB) (faire un dessin !)