Cours Produit Scalaire

euclidien orienté E, de dimension 3, associé à l’espace vectoriel E , est rapporté au repère orthonormé → → direct → ( O, i , j , k ), → → → → d’axes Ox, → Oy, → Oz. Le produit scalaire de deux vecteurs u et v est noté ( u v ) et leur produit vectoriel u ∧ v . On considère dans E l’hélice circulaire (H) d’équations paramétriques : x = R cos t y = R sin t z = ht L’objet de ce problème est d’étudier les projections orthogonales et coniques

´ MINES-PONTS 2001. Fili`re MP. MATHEMATIQUES 1. e Corrig´ de JL. Lamard (jean-louis.lamard@prepas.org) e I.1. Premi`res propri´t´s. e e e a. Si x est vecteur co-propre (non nul) associ´ a µ 1 et µ2 il vient (µ1 − µ2 )x = 0 donc µ1 = µ2 car x = 0. e` cqfd. b. Si µ est valeur co-propre et x vecteur co-propre associ´, il vient imm´diatement (tenant compte de la semi-lin´arit´) e e e e e e que eiθ est ´galement valeur co-propre et que e−iθ/2 x est vecteur co-propre associ´. cqfd. c. Eµ est un espace

l’autre) Tracer un représentant de la somme de ces trois vecteurs . x 4) Multiplication par un réel : Définition : Soient [pic] un vecteur ; A et B deux points du plan tels que [pic]= [pic] ;et k un nombre réel quelconque. Le produit du vecteur [pic] par le nombre k est noté k[pic] et est tel que : a) Si k>0 alors [pic] et k[pic] sont des vecteurs de même direction et sens et k[pic] a pour longueur kAB. b)Si k

e e e e = 1, m = 1, = 1. Le moment cin´tique e 2 Rappel : Un op´rateur vectoriel est d´fini par ses composantes qui sont des op´rateurs au sens ordinaire. e e e Elles ob´issent aux r`gles d’alg`bre vectorielle habituelle (somme, produit scalaire, produit vectoriel) e e e moyennant quelques pr´cautions concernant l’ordre des op´rateurs. e e En utilisant les r`gles de commutation e [x, px ] = [y, py ] = [z, pz ] = i [x, px ]f (x) = −i x (5) df d(xf ) − = if (x), (6) dx dx on montre que les

du tétraèdre). (Médiane du tétraèdre : droite passant par un sommet et le centre de gravité de la face opposée.) 1 2. Produit scalaire du plan et conséquences. 2.1. Rappel sur le produit scalaire dans le plan. ! " ! !" " ! ! " ! " ! " Définition propriété : u et v sont deux vecteurs de P . v ' est le projeté orthogonal de v sur u . ! " ! " On appelle produit scalaire des vecteurs u et v le nombre réel égal. ! " !" ! ! " !" ! # u ! v ' si u et v ' sont de même sens % ! " !" ! ! " !" ! 1. $

en justifiant que exp(u) = exp(id) ◦ exp(u − id) ). 16. Écrire enfin l’endomorphisme exp(u) comme un polynôme en u. IV. Calcul de distances à l’aide de projecteurs orthogonaux Dans cette partie, on suppose en plus que l’espace E est muni d’un produit scalaire < ·, · >, ce qui lui confère une structure d’espace euclidien. On rappelle que la norme euclidienne associée, notée · , est définie par : √ ∀x ∈ E, x = < x, x >. Si F est un sous-espace vectoriel de E, on note F ⊥ son orthogonal, et on appelle

de dimension deux et que D est surjective. Dans toute la suite du probl`me, on suppose que la e fonction q est positive ou nulle sur [a, b] Deuxi`me Partie e On se propose de d´montrer que P admet une et une seule solution. e On munit E du produit scalaire , tel que pour tout (y, z) ∈ E × E, b y, z = a y(x)z(x) dx et on d´finit l’endomorphisme L de E tel que, pour tout y ∈ E, e L(y) = q exp (P )y − (y exp (P )) = − exp (P )D(y) (on ne demande pas de justifier la derni`re ´galit´) e e e

...... 16 Barycentre......................................................................................................... 19 Produit scalaire ................................................................................................. 23 Produit vectoriel................................................................................................ 24 Produit mixte .................................................................................................... 25 Module “Modélisation

prenant une subdivision de pas h est majorée par : . Programmation Matlab : III) Méthode de Gauss-Legendre : Principe : On utilise aussi en analyse numérique une méthode basée sur l'orthogonalité des polynômes de Legendre. pour le produit scalaire Elle est appelée méthode de Gauss-Legendre, et permet de calculer avec une grande précision les intégrales de fonctions suffisamment régulières sur un segment Il suffit de réaliser une application affine de sur , et de remarquer que

N il existe un entier premier p tel que n = 37p + 1. 1. Quel est le plus petit élément de E ? 2. Existe-t-il un élément n, de E, vérifiant 26800 < n < 27800 ? 4 points → → − − Soit E un plan vectoriel euclidien rapporté à une base a , b . (Le produit scalaire → → − − → → − − des vecteurs x et y de E est noté x · y ). Soit ϕ l’application de R dans E, telle que ∀x ∈ R, et ϕ sa dérivée. 1. Montrer que ∀α ∈ R, ϕ(α) et ϕ (α) constituent une base de E. 2. Pour tout réel t , décomposer ϕ(t ) dans une telle