Cours Produit Scalaire

Contrôle n°5 – Vecteurs Exercice 1 (4 points) 1. Compléter : 2. Placer le point H tel que . 3. Placer le point I tel que 4. Placer le point J tel que Exercice 2 ( 4 points) Soit (O ;  ; ) un repère du plan. On considère les points A( 6 ; 7) , B(5 ; - 2) ; C(4 ; - 1) et D(0 ; 1). 1. Déterminer les coordonées des vecteurs et 2. Déterminer les coordonnées du vecteur . 3. Déterminer les coordonnées du vecteur . 4. Trouver les coordonnées du point M tel que Exercice

démarrer la classe de terminale S Tout ce qu’il faut savoir de la 1re S Paul Milan 23 juin 2014 Table des matières 1 Second degré 1 Forme canonique . . . . . . . . . . 2 Racines du trinôme . . . . . . . . . 3 Factorisation, somme et produit des 4 Signe du trinôme . . . . . . . . . . 5 Variation et représentation . . . . . 2 Généralité sur les fonctions 1 Parité d’une fonction . . . . . 2 Variation d’une fonction . . . 3 Résolution graphique . . . . . 4 Fonctions de référence

11 CHAPITRE Produit scalaire dans l’espace ACTIVITÉS (page 320) Activité 1 Activité 2 1 a) D, F, O et B sont des points du rectangle BDHF. Ils sont donc coplanaires. O H F 1 1 a) UAH = UBG ; donc l’angle géométrique de UAF et UBG est celui de UAF et UAH. b) Le triangle AFH est équilatéral ; donc, l’angle géomép trique vaut . 3 2 a) A(1 ; 0 ; 0), F(1 ; 1 ; 1), B(1 ; 1 ; 0) et G(0 ; 1 ; 1). Les vecteurs UAF et UBG ont pour coordonnées : B ͱස2 b) • UBO · IDF = UBO · 1 UDH + UHF 2 = UBO · IDH

sont naturellement liées: F j / i = DI−1 K et Fi / j = KDJ−1 Le produit scalaire de deux vecteurs u et v dans Rp pour la métrique du chi-deux est donné par le produit matriciel: u’. DJ−1 .v , à un facteur multiplicatif près, par suite l’inertie dans la direction du vecteur DJ−1 unitaire u du nuage des profils en ligne, pour la métrique précédente avec pour pondérations les totaux en ligne, est donnée, au même facteur près, par le produit matriciel: u ' DJ−1 Fj / i ' DI F j / i D −j 1u = u ' DJ−1 K '

Chapitre 7 Chapitre 7. Produit scalaire et nombres complexes Activités et applications z1 1. Produit scalaire et trigonométrie π Activité. La valeur du cosinus de 2 i 1. Les coordonnées des vecteurs EOA et EOB sont respectivement 2. 3. 4. 5. ΂ 122 ; 122 ΃ et ΂ 132 ; 12 ΃. ΂ π2 – x΃ + cos ΂ π2 + x΃ = cos π π π π cos x + sin sin x + cos cos x – sin sin x = 0. 2 2 2 2 –1 π Application 1 Le module est donné par la formule : |z| = 9a2 + b2 = 0(– 2)2 + (2)2 = 18. La mise en facteur du module

taille p d´finie positive et (ei ; ej ) est le transpos´ du u e e e vecteur (ei ; ej ). L’espace des individus est donc muni du produit scalaire : ei, ej = ei M ej . Le choix de M d´pend de l’utilisateur. En pratique les m´triques usuelles en ACP sont en e e nombre r´duit : ` part la m´trique M = I (Matrice identit´ de rang p ) ce qui revient ` utiliser e a e e a le produit scalaire usuel, la m´trique la plus utilis´e ( et qui est souvent l’option par d´faut des e e e logiciels d’ACP ) est la m´trique diagonale

d´signe un espace vectoriel euclidien orient´ de dimension n ≥ 1, muni du e e e produit scalaire not´ (x|y). La norme euclidienne associ´e est not´e ||x|| = (x, x). e e e e On note L(En ) l’ensemble des endomorphismes de En , S(En ) l’ensemble des endomorphismes sym´triques de En , O(En ) son groupe orthogonal et GL(En ) l’ensemble des endomorphismes inversibles de En . Par la suite, φ d´signe un autre produit scalaire sur En et on note Sφ = {x ∈ En / φ(x, x) = 1}. e I – Premi`re partie e 1. Montrer

O-(E) ⇒u°v ЄO+(E) Plus généralement la regle des signes fonctionne Remarque : le choix d’une bon établit une bijection entre les ensemble de la colonne de gauche et ceux de la colonne de droite Opération et produit vectoriel dans Rn E=Rn produit scalaire usuel e bon canonique Rappel : il existe une unique application n-linéaire En →R Det (e1,e2,…,en)=1 Det (x1,x2,…,xn)=0 ⇔ la famille { x1,x2,…,xn} est liée Pour A=(aij)ЄMn(R) x1=[pic] x2=[pic] … xn=[pic]

montrent que : e e < ., . > est un produit scalaire sur E. (b) Version 1 Notons (. | .) le produit scalaire canonique de Mn+1,1 (R). n Observons que si P = n ak Pk et Q = k=0 n bk Pk sont deux ´l´ments de E de matrices U et V dans la base ee k=0 ak bk = (U | V ). (P0 , P1 , . . . , Pn ) de E alors : < P, Q >= k=0 Rappelons que la base canonique (E1 , E2 , . . . , En+1 ) de Mn+1,1 (R) est une base orthonorm´e pour le produit scalaire e canonique (. | .) de Mn+1,1

Chapitre 9 ´ ´ ESPACES PREHILBERTIENS REELS ET COMPLEXES 1 Structure pr´hilbertienne e 1.1 Produit scalaire euclidien . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Exemples usuels d’espaces pr´hilbertiens r´els . . e e 1.3 Norme euclidienne sur un espace pr´hilbertien r´el e e 1.4 Espaces pr´hilbertiens complexes . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .