Forme bilinéaire symétrique

Université de Rennes 1 - UFR Mathématiques L3 Mathématiques 2009-2010  ALBI Feuille d'exercices sur les formes bilinéaires symétriques et les formes quadratiques  1 1 1 Soit b la forme bilinéaire symétrique sur R3 de matrice  1 2 3 . Quel est le noyau de b, le rang de b ? 1 3 5 Trouvez une base de l'orthogonal pour b de         1 0 1 1 F = Vec  0  ,  0  , de G = Vec  1  ,  0  . 1 0 1 0 Comparer avec les résultats du cours sur la dimension de l'orthogonal. Exercice

20 — Vérifier que si a est une forme bilinéaire symétrique et coercive sur un espace d’Hilbert H alors a définie un produit scalaire sur H × H. Ex. 21 — Soit V un espace d’Hilbert et Vh un sous espace de V . a une forme bilinéaire et L une forme linéaire et u et uh vérifient : a(u, v) = L(v) a(uh , v) = L(v) ∀v ∈ V et ∀v ∈ Vh Vérifier que : a(u − uh , u − uh ) = a(u − uh , u − v) ∀v ∈ Vh Ex. 22 — Soit a une forme bilinéaire symetrique sur H × H et L une forme linéaire sur H. On note par E(u)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 FORMES BILINEAIRES-FORMES QUADRATIQUES 3.1 FORMES BILINEAIRES . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Expression dans une base-forme matricielle . . . . . 3.1.2 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Rang d’ une forme bilinéaire . . . . . . . . . . . . . 3.2 FORME QUADRATIQUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Forme bilinéaire symétrique (f:b:s) . . . . . . . . . 3.2.2 Forme quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3

(Produit scalaire, espace préhilbertien réel, espace euclidien) • Soit E un K-espace vectoriel. On appelle produit scalaire sur E toute forme bilinéaire symétrique définie positive, i.e. toute application (·|·) : E × E −→ R : ¬ ¡   λx + µy ¬z = λ(x|z) + µ(y|z) 1) bilinéaire : ∀x, y, z ∈ E, ∀λ, µ ∈ R, ;   ¬ ¡ x¬λy + µz = λ(x|y) + µ(x|z) 2) symétrique : ∀x, y ∈ R, (y|x) = (x|y) ; 3) définie : 4) positive : ∀x ∈ E, ∀x ∈ E, (x|x) = 0 (x|x) ⇐⇒ x = 0E ; 0. • Un espace vectoriel

vectoriels . Une application est dite n-linéaire si pour tout , quel que soit , l'application partielle est linéaire . Lorsque F=K on parle de forme n-linéaire. Lorsque n=2 (resp. n=3) on parle d'application bilinéaire (resp. trilinéaire). Exemple 5.2 (Forme bilinéaire canonique)   Soit E un K- espace vectoriel , son dual . L'application est bilinéaire. Théorème 5.3   L'ensemble des applications n-linéaires de dans F est un K- espace vectoriel noté . Remarque 5.4   Ne pas confondre et (l'espace

uv)dΩ + σ Ω u vdΩ = Ω f vdΩ Les termes de bord ont disparus car v s’annule presque partout sur le bord. 2.3 1 1 On a donc Trouver u ∈ H0 (Ω) telle que ∀v ∈ H0 (Ω) : a(u, v) = l(v) En posant a la forme bilinéaire : a(u, v) = α Ω uv∂Ω + σ Ω u v∂Ω Et l la forme linéaire l(v) = Ω f vdΩ On a |a(u, v)| ≤ α Ω |uv|∂Ω + σmax Ω u v∂Ω ie 1 |a(u, v)| ≤ (α + αmax )(u, v)H0 (Ω) 1 1 1 D’apres Cauchy-Schwartz : |a(u, v)| ≤ (α + αmax )||u||H0 (Ω) ||v||H0 (Ω)

est une forme n linéaire alternée sur E si f véri…e les conditions suivantes : i/ f linéaire par rapport à chaque variable, en d’autres termes : 8i 2 [[1; n]] ; 8 (x1 ; x2 ; :::; xn ) 2 0 n E ; 8xi 2 E; 8 ; 2 K on a : 0 0 f x1 ; ::; xi 1 ; xi + xi ; xi+1 ; :::xn = f (x1 ; :::; xi 1 ; xi ; xi+1 ; :::xn )+ f x1 ; :::; xi 1 ; xi ; xi+1 ; :::xn ii/ f fonction alternée, c’est à dire : (9i; j 2 [[1; n]] tels que i 6= j et xi = xj ) ) f (x1 ; ::; xn ) = 0 Exemples : 1/ Une forme 1 linéaire

J(u) = a(u, u), où a est une forme bilinéaire continue sur V . Alors J (u).v = a(u, v) + a(v, u), et si a est symétrique J (u).v = 2a(u, v). ∂J ∂J 3. Si V = Rn , J (u) = ( ∂x1 (u), · · · , ∂xn (u)) et J (u).v = n ∂J i=1 ∂xi (u)vi . 1.3.2 Dérivées secondes Si J : V → R, J : V → V admet une différentielle J et pour tout u, J (u) ∈ L(V, V ), espace des applications linéaires continues de V dans V . Cet espace s’identifie à L2 (V ), espace des applications bilinéaires continues de V × V dans R. On

scalaire 1.1 Formes bilinéaires symétriques 1.1.1 Dénition Structure d'espaces vectoriels pour l'ensemble des formes bilinéaires et l'ensemble des formes bilinéaires symétriques 1.1.2 Formes bilinéaires positives Dénition :Formes bilinéaires positives et dénies positives Inégalité de Cauchy-Schwarz(démo) 1.2 Formes quadratiques 1.2.1 Dénition Structure d'espace vectoriel pour l'ensemble des formes quadratiques(fq) 1.2.2 Polarisation Th : Si Φ est une forme quadratique, il existe

que si A, B et C sont trois points non alignés de E2 , 1 Γ( AB, AC ) est l’aire 2 du triangle ABC (donc, C »). Γ( AB, AC ) est l’aire du parallélogramme « formé par A, B et 6. De la même façon on montre que si A, B, C et D sont quatre points non coplanaires de E3 , Γ( AB, AC , AD) est le volume du parallélépipède « formé par A, B, C et D » que l’on désignera par parallélépipède ABCD . On ne demande pas de prouver ce résultat. a. Vérifier que ce résultat permet de retrouver la formule