Barycentre

2] a) Vrai b) Faux 1 2 BARYCENTRE 1) Soit A = Bar{(B ; –2) ; (C ; 1) ; (I ; 3)}. On a : 3 2 2) Soit G = Bar{(A ; 2) ; (B ; –1) ; (C ; 1)} et M un point du plan. On a 2MA − MB + MC = a) MG b) 2MG c) 2GM d)0 3) Soient A, B et C trois points du plan. Pour tout point M du plan, le vecteur u = 3MA − 2 MB − MC est a) AB = BC + BI 1 2 3 2 b) BA = − BC + BI 1 2 c) BA = BC + BI 1 2 indépendant du point M. a) Vrai b) Faux 4) Soit G le barycentre du système {(A ; 4) ; (B ; 2)

Théorème de Guldin Mathématicien suisse (1577-1643) Le théorème de Guldin permet de calculer le volume engendré par un objet plan d'aire A en révolution autour d'un axe ∆ situé dans le même plan. Soit H, la projection orthogonale du point G, barycentre de l'aire A, sur ∆, alors : V = 2 " A . GH exemple : V = 2"l.R.r ! 2 On peut vérifier ce résultat facilement puisqu'il s'agit de la soustraction d'un volume d'un cylindre à un autre. ! calotte sphérique aire : paraboloïde

L’objectif de ce TP est de calculer le moment cinétique et le moment d’inertie d’un sujet effectuant une demi-rotation autour de l’axe longitudinalTP2 L2S4ST Biomécanique Enseignements scientifiques Analyse biomécanique de la bascule de fond aux barres parallèles L’objectif de ce TP est d’apporter des éléments biomécaniques pour décrire et comprendre la bascule de fond aux barres parallèles. Pour cela, nous allons effectuer une analyse comparative entre 2 étudiants, l’un effectuant correctement

intervenir z  p a P N Q -Q r M le moment dipolaire électrique : p QNP Qaez . De tels dipôles peuvent exister spontanément dans la matière ou encore être créés par un champ électrique appliqué au milieu, du fait d’une séparation des barycentres des charges positives et négatives. On généralise le concept de moment dipolaire à des dipôles « non rigides », pour lesquels la distance a peut dépendre du temps. Le moment dipolaire instantané s’écrit alors : p Qa (t ) .  Le dipôle de Hertz.

que M B 2M A: i. ii. iii. iv. 2 Démontrer que M C 3M A équivaut à 9M A M C 2 0: Placer sur la droite (AC) le barycentre G de (A; 9) et (C; 1) : Exprimer 9M A2 M C 2 en fonction GM: Quel est l’ensemble E cherché ? Le représenter. i. Montrer que M B 2M A équivaut à ! 2M A ! MB ! ! 2M A + M B ii. Placer sur la droite (AB) : A. le barycentre I de (A; 2) et (B; 1) ; B. le barycentre J de (A; 2) et (B; 1) : ! ! ! ! iii. Montrer que 2M A M B 2M A + M B ! ! M I:M J 0. 0 équivaut à 0: iv. Quel

isocèle. Réponse b : équilatéral. Réponse c : rectangle. On a GB2 = 1 + 2 = 3 ⇒ GB = 3 ; de même BI = 3 et GI = 2. Le triangle GBI est isocèle. 2. Question 2 : Le barycentre du système de points pondérés {(O, 2), (A, -1), (C, 1)} est : Réponse b : le point I. Réponse c : le point J. −→ −→ −→ → − − − − −→ − − − → Par définition le barycentre G vérifie : 2GO − GA + GC = 0 ⇐⇒ 2OG = AC ⇐⇒ −→ − − → 3. Question 3 : Le produit scalaire AH · FC est égal à : Réponse a : 1. Réponse b : −1. −→ − − → −→ − − → Avec

(0,75 pt) En déduire la nature du triangle OAB. (0,5 pt) 3) On désigne par C le point d’affixe c = √3 + i et par D son image par la rotation de centre O et d’angle π . (0,25 pt) Déterminer l’affixe du point D. 4) On appelle G le barycentre des points pondérés (O, 1) ; (D, -1) et (B, -1). a) Montrer que le point G a pour affixe g = −4√3 + 6i. b) Placer les points A, B, C et G sur une figure (unité graphique : 1 cm) (0,5 pt) (01 pt) 5) Déterminer une mesure en radians de l’angle

f (x) = x3 − 3x2 + 6 admet le point Ω(1; 4) pour centre de symétrie. EXERCICE 5 : On définit la moyenne harmonique m de deux nombres x et y strictement positifs par la relation : 1 1 + 1 x y = m 2 Prouver que si x ≤ y alors x ≤ m ≤ y. 0.3 Barycentres, Géométrie dans l’espace, Angles Orientés : EXERCICE 1 : −→ − − → Dans chacun des cas suivants, exprimer le vecteur AGi en fonction du vecteur AB : G1 = bar{(A; 2), (B; 3)} G2 = bar{(A; 3), (B; −1)} EXERCICE 2 : 7 1 G3 = bar{(A; ), (B; − )}

proche de la Lune est plus attiré que le point à l'opposé. Si l'on fait la moyenne des actions, on peut décomposer la force en chaque point de l'axe Terre-Lune en deux forces : -une force d'attraction moyenne, -une force centripète (par rapport au barycentre Terre/Lune). Il s'ensuit une déformation de la surface des mers, mais aussi des sols, qui diffère donc de ce qu'elle serait sans la présence de notre satellite et du soleil. Pour la mer, on peut comparer cette déformation à une énorme vague qui

PRINCIPE DE L'AFC 47 f i sur l'axe j est donnée par ij . fi Le barycentre des points de NI munis de ces poids, noté GI , est la moyenne pondérée de tous les points sur tous les axes j . La coordonnée de GI sur l'axe j est donc donnée coordonnée du point par : naturel puisqu'il est proportionnel à l'eectif de la classe d'individus qu'il représente. La ˆ iPI fi  fij fi  a fj : (4.12) Le barycentre s'interprète comme un prol-moyen. Dans l'étude des lignes, il sert de