0

. ··· 1 a) A = 1 0 1 2 b) A = Exercice 7 [ 01252 ] [correction] On considère la matrice b a  1 A= 0 0 1 Vérifier J.A.J = σ(A).J. Exercice 2 [ 01248 ] [correction] Pour i, j, k, ∈ {1, . . . , n}, on note Ei,j et Ek, les matrices élémentaires de Mn (K) d’indices (i, j) et (k, ). Calculer Ei,j × Ek, . a 0 Exercice 4 [ 01250 ] [correction] Soit A = (ai,j ) ∈ Mn (K). Montrer que [ 00403 ] 1 A= 0 0 M= avec 0 d c b a et b + c Pour tout

2022-FG Vous répondrez directement sur la feuille. La calculatrice n’est pas autorisée. 1. Donner un exemple de matrice triangulaire supérieure de M3pRq. Par exemple : ¨ ˝ 1 2 3 0 4 5 0 0 6 ˛ ‚ 2. Donner un exemple de matrice de M4pRq qui n’est pas triangulaire supérieure. Par exemple : ¨ ˚ ˚ ˝ 1 2 3 4 5 6 7 8 0 0 9 0 0 0 0 10 ˛ ‹ ‹ ‚ 3. Ecrire la définition d’une matrice diagonale. Définition 20.62 4. On considère pe1; e2; e3q une base de R3 et l’application linéaire de R3 dans R3rXs telle que : fpe1q

z 2 n 3. ∑+∞ n=0 (ln(n!)) z 4. ∑+∞ n=1 5. ∑+∞ n=1 6. ∑+∞ n=1 7. ∑+∞ n=0 1 2 ch 1n + cos 1n n C2n n nn z (ln(n!))a n z n!b n a n 1+bn z , (a, b) n4 n z ∈ (R∗+ )2 Correction [005745] Exercice 2 Calculer les sommes suivantes dans leur intervalle ouvert de convergence après avoir déterminé le rayon de convergence de la série proposée. 1 n 1) (**) ∑+∞ n=2 n(n−1) x 4n n 3n n 2) (**) ∑+∞ n=0 n+2 x x 3) (** I) ∑+∞ n=0 2n+1 n n 4) (**)

x si 0 x 1 et f (x) = ax2 + bx + 1 si x > 1 soit dérivable sur R∗+ . Indication Correction Vidéo [000699] Exercice 2 1 Soit f : R∗ −→ R définie par f (x) = x2 sin . Montrer que f est prolongeable par continuité en 0 ; on note x encore f la fonction prolongée. Montrer que f est dérivable sur R mais que f n’est pas continue en 0. Indication Correction Vidéo [000700] Exercice 3 Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes : 1 f1 (x) = x2 cos , si x = 0 x

simulent un e¤et cétéris paribus. Exemples: (1) E¤ets d’ engrais; un (2) Taux de rendement de l’ éducation. 2 Modèle de régression linéaire simple 2.1 Dé…nition du modèle de régression simple Le modèle de régression simple s’ écrit: y= 0 + 1x +u où 0 est la constante, 1 est la pente et u le terme aléatoire. On parle de la régression de y sur x, où les variables y et x sont appelées: 8 8 > variable dépendante > variable indépendante > > > > > variable expliquée > variable explicative

deux modes de fonctionnement. Soit le mode 8 bits qui utilise tout le port, soit le mode 4 bits qui utilise seulement les 4 bits de poids fort D7 D6 D5 D4, les autres ne sont pas branchés. Quelque soit le mode utilisé, pour envoyer une commande (RS=0) ou un caractère à affiche (RS=1), on le place sur le port D puis on envoie une impulsion de plus de 450 ns sur E. A la mise sous tension, Le LCD démarre en mode 8 bits. Meme si seulement 4 bits sont branchés, les première commande sont envoyé en mode

bonnes réponses 1)Soit I = 2)Soit J = 3)Soit f une fonction continue sur IR 2 et telle que −1 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =3 et 0 𝑓 −1 2 1 ( 1 + 𝑥 1 1 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝑒 −1 )𝑑𝑥 a)I =1 + ln2 a)J est positif b)I = 3 + ln2 b)J est négatif c)I= - 1 + ln2 c)J est nul a)K = 6 b)K = 0 c)K = - 6 𝑥 𝑑𝑥 = -3 2 soit K = 0 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 4)Soit le graphe G suivant A. .B .E . D 5)Soit T le graphe probabiliste suivant 0.7 0.3 0.8 A B 0

du repère 0? (repères orthonormés). Il en résulte 3 × 3 paramètres, en effet : 6 relations sont nécessaires pour indiquer que la base est orthonormée (3 pour indiquer des normes unitaires + 3 pour indiquer l'orthogonalité de la base), et 3 paramètres pour décrire l'orientation du repère.  Construction des cosinus directeurs : ⃗1 ⃗1 ⃗1 ? ? ? ?11 ?12 ?13 ⃗ ? Repère initial 0 . Cette matrice de rotation vérifie 6 relations parmi les 9 ⃗0 ( ?21 ?22 ?23 ) ? ?31 ?32 ?33 ⃗0 ? paramètres

TOTAL 0 0 5 0 0 0 0 6 11 0 0 0 0 2 0 13 0 5 0 3 0 7 0 15 4 6 3 0 8 1 22 56 0 0 0 5 0 0 0 0 5 11 1 0 1 0 13 0 13 0 6 0 2 0 6 0 14 2 4 1 0 8 1 16 48 0 0 0 12 0 1 0 0 13 10 1 0 0 0 0 0 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 3 27 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 22 0 2 0 0 24 32 2 0 0 30 3 0 37 0 11 0 5 0 13 0 29 6 10 4 0 19 2 0 41 131 0 26 Annexe 5 VENTE REALISE EN MOIS D'AOUT (ANNEXE 5) MINUTEMAID 1LTR X 12 ORANGE APPLE BREAKFAST 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 14 12

1. Comme y est dérivable sur [0 ; 30], z aussi et y ′ = − 2 ; on va remplacer : z   z(0) = 100 z(0) = 100 y(0) = 0, 01 ⇐⇒ 1 1 ⇐⇒ z′ ′  − z′ = −0, 5z + 0, 05 y = 0, 05y(10 − y) = 0, 05 (10 − ) z2 z z 2. a. z est donc solution d’une équation différentielle de la forme z ′ = az + b. Les solutions sont les fonctions définies sur [0 ; 30] par z(x) = ke−0,5x + 0, 1 avec k réel. Ainsi, z est définie par z(x) = 99, 9e−0,5x + 0, 1 1 . Enfin, y est définie par y(x) = −0,5x + 0, 1 99, 9e b. On veut y(30). 1