0

600 0 1200 0 0 0 0 0 1800 0 600 0 1200 0 0 0 0 1800 0 0 600 0 1200 0 0 0 1800 0 0 0 600 0 1200 0 0 1800 0 0 0 0 600 0 1200 0 1800 0 0 0 0 0 600 0 1200 1800 0 0 0 0 0 0 600 600 1200 BUDGET DES DECAISSEMENTS DECAISSEMENTS Juil Août Sept Oct. Nov. Déc. dettes 31/12 achats matière autres charges cot. 2èmeT cot. 3èmeT cot. 4èmeT TVA 2èmeT TVA 3èmeT TVA 4èmeT Rém. exploitant Mensualités TOTAL 600 900 875 0 0 0 0 0 1000

BTS - groupement B - 2006 Correction de l’´preuve de Math´matiques e e Exercice 1 A . R´solution d’une ´quation diff´rentielle . e e e 1. R´solution de (E0 ) : y ′′ − 3y ′ − 4y = 0 . e L’´quation caract´ristique est r2 − 3r − 4 = 0. Ses solutions sont r1 = −1 et r2 = 4 . e e Les solutions de l’´quation diff´rentielle sont donc d´finies sur R par y(x) = λe−x + µe4x , o` λ et µ sont deux e e e u nombres r´els quelconques. e 2. h d´finie sur R par h (x) = xe−x est une solution particuli`re de l’´quation

((2 +3( ( 2 = 0 ( ( = 1 ou ( = 2 ; 2 ( ( = 0 ( ( = 2. Les deux valeurs propres de f sont donc (1 = 1, (2 = 2. 2. A est inversible car 0 n'est pas valeur propre de A. 3. Pour (1 = 1, le sous espace propre associé à pour base (1, 1, 0), pour dimension 1. Pour (1 = 2, le sous espace propre associé à pour base (2, 1, 0), pour dimension 1. 4. La somme des dimensions des sous-espaces propres de f n'est pas égale à 3, donc f n'est pas diagonalisable. 5. u1 = (1, 1, 0). 6. u2 = (2, 1, 0). 7. x u1 +

|Comptes sociaux |  |31/12/2010 |  | |* Capital souscrit non appelé |0 |0 |0 | |  |  |  |  | |* Actif immobilisé

| | | | | | |Production vendue de biens |0 |0 |0 | | | | | | |Production vendue de services

" $ & ! ! ! ( * ) ! + , ! . ! ! # % ' / + 0 ! 1 1 1 1 * ( ! ( ! - 1" 2 1# 1# 3 ! / ! ) + ! Institut Cned de Lyon 100, rue Hénon 69316 Lyon cedex 04 ! " $ " % # & & ' ! # # ( # ! # )*+ 1 - ! 0 ! ! ! - ) / ! ) 0 ! 4 1 8 # 4 ) 4 5 ! ! / 4 6 0 7 + ! - ! "# A(; : Institut Cned de Lyon 100, rue Hénon

heure machine 2x1 + 2x2 ≤ 240 2) Contrainte main d’œuvre 3x1 + x2 ≤ 140 3) Contraintes de non-négativité (exprimant que les niveaux d’activité ne peuvent être négatifs) x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 Modèle complet : x1 = nbre de climatiseurs, x2 = nbre de ventilateurs Max Z = 25 x1 + 15 x2 s.c. 2x1 + 2x2 ≤ 240 3x1 + x2 ≤ 140 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 s.c = sous contraintes Chapitre 1 Introduction à la PL  Domaine réalisable et solutions optimales : Ce sont deux concepts fondamentaux associés avec un PL. Pour les définir

$ ' % "& " 2 # " ' 0 ( & 1 5 # ( ( & # ( ' # $ 1 / ' / % # 3 4 2 # $ # * * # ( * # * * () * ( 2 $ ( & # 6 # #5 7 1 2 # & # * * ( 5# & () # * * 8 # # $ - / & * " * * * . # # # # ( $ * * # * & * * 8 * . # "" "" "# "" ! * ) * + * *" ' ) * *" ( 1 9 # " # 1 # / # # :" ( $ 1 :" # :" # ( 1 # ! , + #0# ( ( / ?/ $ * *, # # 5

with interactions: A DEA based methodology, European Journal of Operational Research. 6 1 Les nouvelles frontières en management et gestion des projets _UQO-2011 contribution scientifique et la contribution sociale, mesurées sur une échelle 0-100. Par ailleurs, ces projets mobilisent des ressources humaines mesurées en équivalent temps complet (ETC) et des ressources matérielles mesurées en terme monétaire. Enfin, une probabilité de succès est également associée à chaque projet et cette probabilité

= x si 0 x 1 et f (x) = ax2 + bx + 1 soit dérivable sur R∗ . + Indication Correction si x > 1 [000699] Exercice 2 1 Soit f : R∗ −→ R définie par f (x) = x2 sin . Montrer que f est prolongeable par continuité en 0 ; on note x encore f la fonction prolongée. Montrer que f est dérivable sur R mais que f n’est pas continue en 0. Indication Correction [000700] Exercice 3 Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes : 1 f1 (x) = x2 cos , si x = 0 x ; f1 (0) = 0; f2 (0) = 0; ; f3 (1)