Dérivabilité

Z  ZZ  Z    Z Z  Z Z

Exo7

1

Calculs

Exercice 1 Déterminer a, b ∈ R de manière à ce que la fonction f définie sur R+ par : √ f (x) = x si 0 x 1 et f (x) = ax2 + bx + 1 soit dérivable sur R∗ . +
Indication Correction

si x > 1
[000699]

Exercice 2 1 Soit f : R∗ −→ R définie par f (x) = x2 sin . Montrer que f est prolongeable par continuité en 0 ; on note x encore f la fonction prolongée. Montrer que f est dérivable sur R mais que f n’est pas continue en 0.
Indication Correction
[000700]

Exercice 3 Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes : 1 f1 (x) = x2 cos , si x = 0 x

;

f1 (0) = 0; f2 (0) = 0; ; f3 (1) = 1.
[000698]

1 ; f2 (x) = sin x sin , si x = 0 x √ |x| x2 − 2x + 1 f3 (x) = , si x = 1 x−1
Indication Correction

Exercice 4 Soit n ≥ 2 un entier fixé et f : R+ = [0, +∞[−→ R la fonction définie par la formule suivante : f (x) = 1. 1 + xn , x ≥ 0. (1 + x)n

(a) Montrer que f est dérivable sur R+ et calculer f (x) pour x ≥ 0. (b) En étudiant le signe de f (x) sur R+ , montrer que f atteint un minimum sur R+ que l’on déterminera.

2.

(a) En déduire l’inégalité suivante : (1 + x)n ≤ 2n−1 (1 + xn ), ∀x ∈ R+ . (b) Montrer que si x ∈ R+ et y ∈ R+ alors on a (x + y)n ≤ 2n−1 (xn + yn ).

Correction

[000739]

1

2 Théorème de Rolle et accroissements finis
Exercice 5 Montrer que le polynôme X n + aX + b, (a et b réels) admet au plus trois racines réelles.
Indication Correction
[000717]

Exercice 6 Montrer que le polynôme Pn défini par Pn (t) =
Indication Correction

1 − t2

n (n)

est un polynôme de degré n dont les racines sont réelles, simples, et appartiennent à [−1, 1].
[000715]

Exercice 7 Dans l’application du théorème des accroissements finis à la fonction f (x) = αx2 + β x + γ sur l’intervalle [a, b] préciser le nombre “c” de ]a, b[. Donner une interprétation géométrique.
Correction
[000721]

Exercice 8 Soient x et y réels avec 0 < x < y. 1. Montrer que x< 2. On considère