Triangle Houssaye

TPMath VECTEURS G21 GeoGebra Enoncé 1 :  → 1 → 3  → 3 → 2 ABCD est un parallélogramme ; E et F sont les points définis par CE = CD et BF = BC On se propose d’étudier l’alignement des points A, E et F Travail sur logiciel :  → 1°) ABCD est un parallélogramme donc AD = ……………….. ( compléter ) 2°) Ouvrir un logiciel de géométrie dynamique ( GeoGebra ) 3°) Faire une figure ( voir déroulement ci-dessous ) Aide Construire trois points A, B et C.  → Définir le vecteur BC Icône

Équations de droite 5 Exemple de recherche d’une équation d’une médiane, d’une médiatrice et d’une hauteur Dans un repère orthonormé, on considère les points A −3 1 ,B 1 3 et C −1 −5 . • Déterminons une équation de la médiane issue de A dans le triangle ABC. Elle passe par A et par I, le milieu de [BC]. 0 xB + xC yB + yC Or, xI = . = 0 et yI = = −1. Donc, I 2 2 −1 yI − yA −1 − 1 2 Le coefficient directeur de la médiane est m = = =− . xI − xA 0 − (−3) 3 2 Et, yA = mxA + p ⇔ 1 = − × (−3) + p ⇔ p =

d’où 2m = – 2 m = – 1 car CI ≠ 0 . La proposition c) est la bonne réponse. m 2. Étudier des transformations • Soit K le milieu de [ IB ]. Comme I est le milieu de [ DB ] , on en déduit 1 que IK = -- DB. 4 J est le milieu de [ IA ]. Dans le triangle IAB, d’après le théorème des milieux, la droite ( JK ) , passant par les milieux des côtés [ IA ] et [ IB ], est parallèle à la droite ( AB ). 1 On a aussi, KJ = -- BA et KJ et BA ont même sens. On en déduit que 2 1 KJ = -- BA . 2 • D’après la relation

quatre éléments l’eau, l’air, la terre et le feu. Tiens, ça me rappelle quelque chose ! Sa vision en 3D, donc celle du cube est le symbole de la base d’une construction parfaite sur laquelle peut se bâtir par exemple une pyramide et donc quatre triangles (triangle lui symbole de l’esprit). Cette vision 3D ne correspond-elle pas à notre Pierre Polie symbolique ? Si on revient maintenant à cette alternance des couleurs, les carrés nous obligent, si on veut passer du blanc au blanc (donc schématiquement

d. Comment peut-on vérifier ces calculs avec la calculatrice ? b) f (− 9) < f (− 6) d) f (− 5) >f (− 3) La suite est au verso Exercice 4 (12 points) ABC est un triangle isocèle en A avec : AB = AC = 10 cm H est le pied de la hauteur issue de A. Dans ce problème, on se propose d’étudier les variations de l’aire du triangle lorsqu’on fait varier la longueur x (en cm) du côté [BC]. 1. a. Calculer la valeur exacte de l’aire de ABC lorsque x = 5. b. Peut-on avoir x = 30 ? Pourquoi ? Dans quel

+i e = 1 + i 3 eiθ = αeiθ 2 2 α αeiθ + α − 4 2 αeiθ + α − 4 = α 2 π 1 3 +i = ei 3 2 2 zG − 2 π zG − 2 AG − − → → = 1 ⇐⇒ AG = AF et Arg = AF ; AG = = zF − 2 AF zF − 2 3 π Nous sommes donc en présence d’un triangle isocèle dont l’angle au sommet mesure . C’est un triangle équilatéral. 3 4. AF 2 = 4 − 3cos θ + 3 sin θ. f : x → 4 − 3cos θ + 3sin θ sur [−π ; π]. Tableau de variations de f : − π 6 5π 6 4+2 3 4−2 3 7 x −π 7 π f π Le minimum de cette fonction f est atteint pour

la différence des aires est aussi petite que l’on veut. Dans son De la quadrature de la parabole, il établit par exemple la proposition suivante : « un segment quelconque compris par une droite et une parabole est égal à quatre fois le tiers d’un triangle qui a la même base et la même hauteur que le segment. » Pour ce faire il est amené à travailler avec une suite géométrique de raison 1/4, dont il doit sommer les termes, en évitant toutefois la somme infinie et en se contentant de manipuler la suite

soi ou à un autre objet, donner sa position et décrire son déplacement ; - reconnaître, nommer et décrire les figures planes et les solides usuels ; - utiliser la règle et l’équerre pour tracer avec soin et précision un carré, un rectangle, un triangle rectangle ; - utiliser les unités usuelles de mesure ; estimer une mesure ; - être précis et soigneux dans les tracés, les mesures et les calculs ; - résoudre des problèmes très simples ; - observer et décrire pour mener des investigations ;

de base Activité Représenter un triangle et son cercle circonscrit, constater que si le centre de ce cercle est sur un côté, alors l’angle opposé mesure 90°. Modes opératoires Créer le triangle : Menu Créer / Point / Point libre / Dans le plan Taper A B C et valider en cliquant sur le bouton  OK . Menu Créer / Ligne / Polygone / Polygone défini par ses sommets Pointer (en cliquant) chaque point puis nommer le triangle T et valider. Créer le cercle circonscrit

Montrer que le triangle ABC est rectangle. b. Ecrire un système d’équations paramétriques de la droite ∆ passant par O et perpendiculaire au plan P. c. Soit K le projeté orthogonal de O sur P. Calculer la distance OK. d. Calculer le volume du tétraèdre OABC. 3. On considère dans cette question le système de points pondérés S = { ( O , 3 ) , ( A, 1 ) , ( B, 1 ) , ( C , 1 ) } . a. Vérifier que ce système admet un barycentre qu’on notera G. b. On note I le centre de gravité du triangle ABC. Montrer que