Théorème de la bijection

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relations d'équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relations d'ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Théorème de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 L'induction 3.0.21 3.0.22 Théorème (Bon ordre) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Principe d'Induction (PI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 15 15 15 Bekkali 3.0.23 Notions fondamentales

. . . . Théorème de Cantor-Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formule du crible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Théorème chinois pour les groupes abéliens finis . . . . . . . . . . . . . Inversion de Möbius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Morphismes de Sn dans × . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Critère de conjugaison des permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . Théorème de Wilson

groupe. On dit qu'une partie H de G est un sous-groupe de G si les conditions suivantes sont vériées : i) H est stable pour la loi ·. ii) (H, ·) est un groupe. un sous-groupe de G, il faut et il sut que : i) H = ∅. ii) ∀x, y ∈ H, xy −1 ∈ H . Théorème 3.1 Soit G un groupe d'élément neutre e. Pour qu'une partie H de G soit ⇒) Evident. ⇐) On a H = ∅. Soit donc a ∈ H , alors aa−1 = e ∈ H , d'où ∀x ∈ H, ex−1 = x−1 ∈ H . Ainsi, ∀x, y ∈ H, xy = x(y −1 )−1 ∈ H , c.-à-d. que H est stable pour la loi

le domaine de l’analyse mathématique moderne. II- Construction de l’ensemble des nombres réels Le critère de convergence d'une suite énoncé par Augustin Louis Cauchy, comme le théorème des valeurs intermédiaires « prouvé » par Bolzano firent vite partie de la panoplie de travail de tout analyste. Mais ces théorèmes semblaient entachés de géométrisme, dérivant de la théorie des proportions que René Descartes avait rattachée à la géométrie. Or, après la découverte des géométries non euclidiennes

E , ∃M ∈ R : |f (x)| ≤ M, ∀x ∈ B. 3) On se propose de montrer le théorème de Mackey suivant : un sousensemble B d'un espace de Banach E est σ(E, E )-borné ⇐⇒ B est norme-borné. Et on suppose que B est σ(E, E )-borné. a) On pose Fn = {f ∈ BE : |f (x)| ≤ n, ∀x ∈ B} où BE est la boule unité fermée de E . Montrer que ∪n≥1 Fn = E (utiliser 2)). b) Montrer qu'il existe n0 ≥ 1, ∃f0 ∈ E , ∃ > 0 tels que B(f0 , ) ⊂ Fn0 (utiliser le théorème de Baire). c) En déduire que x ≤ 2n0 , ∀x ∈ B. Rappelons que si 0

qui est l’angle entre Ox et T , ϕ = i , T d’où, en paramétriques :         dx dx ds −  cos ϕ   ds   dt / dt  −  − sin ϕ  →  →  =     T :    dy  =  dy ds  et N :  sin ϕ / cos ϕ ds dt dt En polaires, on a : ϕ =θ+V Théorème : Avec les notations précédentes, on a : γ= dϕ ds R=  ds dϕ    .   dϕ − → −  cos ϕ  →  →  − sin ϕ × ds  qu’on dérive par rapport à s. D’où d T = γ − :  Démonstration : T :  N   ds dϕ sin ϕ cos ϕ × ds dϕ Ce qui donne immédiatement

0/Genreralite - Soit un une suite et L sa limite. On dit que un converge vers L si et seulement si pour tout intervalle ouvert I contenant L, il contient aussi tous les termes un à partir d’un certain rang. - Toute suite convergente est bornée. - Théorème des gendarmes : Soit 3 suites un, vn et wn vérifiant : un < vn < wn à partir d’un certain rang un et wn convergents vers L et ont la même limite Alors vn est convergente et à pour limite L. - Toute suite croissante et majorée converge. - Toute

MESURES DE RISQUE 5 1.1 Les besoins de la théorie 5 1.2 Définitions de mesures de risque 8 1.3 Ensemble de positions acceptables II 1.4 Théorème de représentation. . . . 14 1.5 Appendice d'analyse fonctionnelle 17 1.5.1 Généralités . 18 1.5.2 Théorèmes de séparation . 19 1.5.3 Système dual, topologie faible 23 1.5.4 Transformée de Fenchel-Legendre . 24 CHAPITRE II EXEMPLES DE MESURE DE RISQUE

; d’où la proposition : Proposition 1.3.1 Soit un une série à termes positifs. un converge ⇐⇒ (Sn )n est majorée Preuve. Il suffit d’appliquer la remarque (1.3.1) et de se rappeler que les suites croissantes et majorées sont convergentes. Théorème 1.3.1 (Règle de comparaison) Soit un vn deux séries à termes positifs. On suppose que 0 ≤ un ≤ vn pour tout n ∈ N. Alors : 1. vn converge =⇒ 2. un diverge =⇒ Preuve. un converge. vn diverge. n 1) un ≤ vn =⇒ Sn = k=0

x appartenant à [0 ;35]. Ainsi, la fonction h est strictement croissante sur [0 ;35]. b) La fonction h est continue et strictement croissante sur [0 ;35]. De plus, h(0)=153-504&lt;0 et h(35) ≈792&gt;0. Donc, d’après le théorème de la bijection, l’équation h(x)=0 admet une unique solution x0 sur l’intervalle [0 ;35] c) Avec la calculatrice on trouve x0=8,871. d) Y0=fx0=f(8,871)=238,41. e) De la question précédente, on déduit que le prix unitaire d’équilibre