Théorème de la bijection

. 6.2.4 Composition des applications . . . . . . . . . . 6.3 Applications particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Injection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2 Surjection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.3 Bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.4 Fonction indicatrice d’un ensemble . . . . . . . 6.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . Suites réelles 7.1 Notions

élémentaire 7.1 Différentiabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Équations aux dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Problèmes d’extrémums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Les théorèmes d’inversion locale et des fonctions implicites 7.5 Intégrales multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 33 34 34 34 35 Algèbre euclidienne et hermitienne 8

l’ensemble des nombres réels ℂ : l’ensemble des nombres complexes 13    14 Les objets géométriques Objets, assertions, relations VRAI FAUX 15 ETABLIR GRÂCE À UN JEU D’AXIOMES QU’UNE ASSERTION EST VRAIE C’est prouver un théorème …  ou prouver un lemme …  ou prouver un corollaire …  16 QUELQUES OPÉRATIONS ENTRE ASSERTIONS LA DISJONCTION : R OU S V R S R ou S 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 18 LA CONJONCTION : R ET S R 0 0 S 0 1 R et S

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Continuité 3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . 3.2 Théorème des valeurs intermédiaires 3.3 Compléments . . . . . . . . . . . . 3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . 4 Dérivation 4.1 Généralités 4.2 Opérations 4.3 Variations 4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

u(pi,y) = -sin(y) u(x,pi) = -sin(x) u(0,y) = sin(y) En écrivant le développent de Taylor de u autour de (x,y) de u(x-h,y) et u(x+h,y) suivant la première direction du plan et de u(x,y-h) et u(x,y+h) suivant la second direction et en utilisant la bijection N définie par N(i,j)=i+(j-1)(n-1), le système (P) peut s’ecrire sous la forme matricielle A Uh +ε = b avec Uh , ε et b 3 vecteurs de taille ((n-1)^2 , 1) et A une matrice de taille (n-1)^2. IMPLEMENTATION DES MATRICES A ET B SUR MATLAB :

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Continuité 3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . 3.2 Théorème des valeurs intermédiaires 3.3 Compléments . . . . . . . . . . . . 3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . 4 Dérivation 4.1 Généralités 4.2 Opérations 4.3 Variations 4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

définie par ( ) ( ) 1. Montrer que est une relation d’équivalence. 2. Décrire la classe d’équivalence ( ̇ ) du couple ( ). 3. On désigne par l’ensemble quotient pour cette relation. Montrer que l’application [ [ ( ̇ ) Est bien définie et que c’est une bijection. Allez à : Correction exercice 3 : Exercice 4 : Soient et deux ensembles et ( ) , une application. On définit une relation ( ) ( ) sur en posant, pour tout 1. Montrer que est une relation d’équivalence. 2. Décrire la classe ̇ de l’élément

sens de Riemann . . 3.3.2 Condition pour qu’une fonction soit intégrable . . . . 3.3.3 Propriétés de l’intégrale définie . . . . . . . . . . . . . 3.3.4 Théorème de la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.5 Déf. d’une primitive sur un intervalle . . . . . . . . . . 3.3.6 Lemme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.7 Théorème fondamental du calcul intégral . . . . . . . 3.3.8 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.9 Propriété de l’intégrale d’une fonction

2 3 4 PGCD Zn et Z∗n Algorithme d’Euclide Complexité de l’algorithme d’Euclide ϕ(n) Fermat et Euler Théorème chinois Déchiffrement RSA Eléments primitifs Théorème de Lucas Fonctions génératrices Jean Dieudonné dans l’Encyclopeadia Universalis Exemples La fonction ζ Produit Eulerien Prolongement analytique de ζ Répartition des nombres premiers Le théorème de la progression arithmétique La fonction ζ PGCD ϕ(n) Fonctions génératrices La fonction ζ Quelques

dénombrable. En particulier Q est dénombrable. 3.3.3 La bijection réciproque d’une application bijective Définition : Soit f : E −→ F une application bijective. Alors on peut définir une application s : F −→ E de la façon suivante : à tout y ∈ F , on associe son unique antécédent x dans E. y −→ x si y = f (x) s est appelé bijection réciproque de f et on la note f −1 . Propriétés remarquables de s . (i) - s est bijective et sa bijection réciproque s−1 est exactement f . (f −1 )−1 = f (ii) - On