Théorème de la bijection

Bolzano • Né le 5 octobre 1781 et mort le 18 décembre 1848 à Prague. • Mathématicien, logicien, philosophe et théologien. • Fils d’une germanophone et d’un émigré italien, il a rédigé toutes ses œuvres en Allemand. • A donné son nom à 2 théorèmes. Bolzano • Affirme que l’infini en acte est une vérité mathématique. • Enumérer tous les éléments d’un ensemble n’est pas nécéssaire pour en concevoir l’existence  Il suffit de caractériser l’ensemble. • Ensemble infini déterminable  infini en

répétition" pour les distinguer des arrangements qui seront évoqués au paragraphe suivant. · On suppose que la 0-liste existe, c'est la liste qui ne comporte aucun élément. 2.2. Théorème Soit E un ensemble de cardinal fini n. Le cardinal de l'ensemble E P des p-listes de E est n p . La démonstration de ce théorème découle simplement du principe multiplicatif. Applications : 1) Au loto sportif, on coche l'une des trois cases 1 Dénombrer le nombre de grilles distinctes. Il y en a autant que de 13-listes

angulaires 1 et 5, respectivement 2 et 6, sont appelés correspondants. 4. Les secteurs angulaires 1 et 3, respectivement 2 et 4, sont dits opposés par le sommet A. 1 Trigonométrie - Chapitre 1 Page 2 Théorème 1 Deux secteurs saillants opposés par le sommet sont isométriques. Théorème 2 (Théorème de la transversale) Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, 1. les secteurs angulaires alterne-internes déterminés sont isométriques ; 2. les secteurs angulaires alterne-externes déterminés

INTÉGRALES IMPROPRES Prérequis : Fonctions numériques - Développements limités - Calcul intégral - Théorème de la limite monotone 1 Généralités Dans ce paragraphe K désigne R ou C. 1.1 Définition : Soient a ∈ R et b ∈ R ∪ {+∞}. Soit f : [a, b[→ K une fonction continue x par morceaux. On pose F (x) = a b f (t) dt pour tout x ∈ [a, b[. On dit que f admet une intégrale impropre si F (x) admet une limite quand x → b par valeurs inférieurs. On note alors a f (t) dt cette limite

[correction] Soit f : [0, π/2] → R définie par Exercice 4 [ 01359 ] [correction] Soit f : [0, 1] → R une fonction dérivable. On définit une fonction g : [0, 1] → R par : g(x) = f (2x) f (2x − 1) x 2 f (x) = √ sin x + x Justifier que f réalise une bijection vers un intervalle à préciser, puis que f −1 est continue et dérivable sur cet intervalle. si x ∈ [0, 1/2] sinon Application de la dérivation A quelle condition(s) la fonction g est-elle dérivable ? Exercice 10 [ 01356 ] [correction] Pour λ ∈ R

angulaires 1 et 5, respectivement 2 et 6, sont appelés correspondants. 4. Les secteurs angulaires 1 et 3, respectivement 2 et 4, sont dits opposés par le sommet A. 1 Trigonométrie - Chapitre 1 Page 2 Théorème 1 Deux secteurs saillants opposés par le sommet sont isométriques. Théorème 2 (Théorème de la transversale) Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, 1. les secteurs angulaires alterne-internes déterminés sont isométriques ; 2. les secteurs angulaires alterne-externes déterminés

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 20 20 21 21 22 22 22 2. Fonctions et applications 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. Applications . . . . . . . . . . . . . . . Injection, surjection, bijection . . . . . Image, image réciproque d’une partie Composition des applications . . . . . Ensemble des applications de E vers F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 12. Déterminants 8 8 9 9 9 12.1. 12.2. 12.3. 12.4. 12.5. Ordre 2 et

qui ne serait une définition qu’après que l’on ait prouvé que cette équation différentielle a une unique solution, ce qui n’est (pour l’existence du moins) pas fait en terminale ! 1.0.8 Exercice. En définissant exponentielle exp : R → R comme la bijection réciproque de Log, prouver que l’exponentielle est dérivable et vérifie exp = exp. 2. Soit α ∈ R et pα :]0, +∞[→ R, pα (t) = exp(α Log(t)) = eα Log(t) (= tα ), la puissance d’ordre 5) α composée de l’homothétie t → α Log(t) et de l’exponentielle

intellectuelle, étant fondées sur des axiomes déclarés vrais (c'est-à-dire que les axiomes ne sont pas soumis à l'expérience, même s'ils en sont souvent inspirés) ou sur des postulats provisoirement admis. Un énoncé mathématique – dénommé généralement théorème, proposition, lemme, fait, scholie ou corollaire – est considéré comme valide lorsque le discours formel qui établit sa vérité respecte une certaine structure rationnelle appelée démonstration, ou raisonnement logico-déductif. Bien que les résultats

alors lim (un ) ≤ lim (vn ). Attention ! Avant d’appliquer cette propriété, bien justifier l’existence des limites (voir aussi le paragraphe suivant). 1 Attention ! Les inégalités strictes ne se transmettent pas en général (cf. ∀n ∈ N∗ > 0). n b) Théorème d’encadrement Soient (un )n∈N , (vn )n∈N , (wn )n∈N trois suites réelles telles que : • à partir d’un certain rang, un ≤ vn ≤ wn ; • (un )n∈N et (wn )n∈N convergent vers une même limite ℓ. Alors (vn )n∈N converge également vers ℓ. Attention ! Ce