Théorème de la bijection

(et)− F (−et). et on peut prendre comme densité la fonction fT dé�nie sur R par fT (t) = etf(et) + etf(−et), ∀t ∈ R 4. La fonction F est continue et strictement croissante (car sa dérivée est strictement positive). Par conséquent, elle réalise une bijection entre R et F (R) =]0, 1[. Notons FU la fonction de répartition de U . Alors, pour t ∈ R, FU (t) = P (F (X) ≤ t) . Donc si t ≤ 0, FU (t) = 0 et si t ≥ 1, FU (t) = 1. Pour t ∈]0, 1[, FU (t) = P ( X ≤ F−1(t) ) . En e�et, puisque F est bijective et strictement

q = 1, lim q n = 1 ∗ Si q n→+∞ −1, q n n’a pas de limite. Théorème d’encadrement (« des gendarmes ») Soient trois suites (un )n∈ , (vn )n∈ , (wn )n∈ telles que : ∀n  vn un wn  lim vn = ℓ n0 , n→+∞ lim u = ℓ  n→+∞ n lim wn = ℓ n→+∞ 1.5 Suites adjacentes Théorème et définition Deux suites (un )n∈ et (vn )n∈ sont adjacentes si et seulement si : ∗ (un )n∈ est croissante. ∗ (un )n∈ est décroissante. ∗ lim un − vn = 0 n→+∞ Théorème : Si deux suites sont adjacentes alors elles convergent et elles

question 4 I.2.b. Permutations et arrangements Question: Combien y-a-t-il de façons de ranger 6 livres sur une étagère? Réponse: Par le principe de multiplication on a 6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 6! Formulation mathématique : Il y a n ! = n⋅(n-1)⋅…⋅2⋅1 bijections (permutations) d’un ensemble à n éléments dans un ensemble à n éléments. 1 2 . . . n livre 1à1 1 2 . . . n position Question : 12 personnes font parties d’un club de probabilistes. Combien y-a-t-il de façons de choisir : 1 président, 1

y) (x0, y0) D(f1, f2) D(x, y) (x0, y0) = ∂f1 ∂x (x0, y0) ∂f2 ∂y (x0, y0)− ∂f2 ∂x (x0, y0) ∂f1 ∂y (x0, y0) Dé�nition 7 Soient U , V deux ouverts de R2 et k un entier naturel non nul. On dit que f est un Ck-di�éomorphisme de U dans V si f est une bijection de U sur V telle que f soit de classe Ck sur U et f−1 de classe Ck sur V . Proposition 7 Soient U , V deux ouverts de R2 et k un entier naturel non nul. Si f est un Ck-di�éomorphisme de U sur V , alors pour tout (x, y) ∈ U , avec (z, w) = f(x, y)

Exemples 6 1. Deux droites parallèles sont toujours coplanaires. 2. Deux droites dont l’intersection n’est pas vide, sont toujours coplanaires. F IGURE 1.1 – Droites coplanaires F IGURE 1.2 – Droites non coplanaires Page 11 sur 78 1 M.HOUIMDI Théorème 1 − − Soient E un espace affine de dimension 3, D = D(A, → u ) et D = D(B, → v ) deux droites affines de E . On suppose que D et D ne sont pas prallèles, alors, l’une des deux propriètés suivantes est vérifiée, − →− → i) Si (AB, → u ,− v ) est lié

méthode est plus difficile mais utile dans plusieurs situations économiques. 26 La méthode de Leibniz Pour cela, nous allons faire un détour par certains résultats connus. Premier théorème de la moyenne : Si f (x) est continue sur [a, b], alors il existe un point ξ ∈ [a, b] tel que : b f (x) dx = (b − a) f (ξ). a Théorème des accroissements finis : Pour toute fonction f : [a, b] → R continue et dérivablesur l’intervalle ouvert ]a, b[, il existe un réel c ∈ ]a, b[ vérifiant : f ′(c) = f (b) − f (a)

minimum m. Or, m > 0. Donc, pour tout réel x, φ(x) > 0. Question 2c. Sur [1 ; 2], la fonction φ est continue et strictement croissante. De plus, φ(1) = (2×1 – 1)+ 4 = 5 < 6 et φ(2) = (2×2 – 1)+ 4 = 3e + 4 > 6. Donc, d’après le théorème de la bijection, l’équation φ(x) = 6 admet une unique solution réelle α sur l’intervalle [1 ; 2]. En utilisant les tables de valeurs de la calculatrice, on obtient : 1,2 < α < 1,3. Partie C Question 1. On a : F(x) = u(x)×v(x) + w(x) avec u (x)

orthogonale par rapport à l’axe (Ox). y M (z) O x M ’(z) Conjugaison sur C et symétrie orthogonale. 2 Proposition 3.1.2. 1. La conjugaison est involutive : z = z (c’est donc une bijection !) ; 2. La conjugaison est un isomorphisme de corps et de R-espace vectoriel, c’est-à-dire une bijection vérifiant : i) ∀z, z ∈ C, z + z = z + z et zz = z z ; ¯ ¯ ¯¯ ii) ∀λ, µ ∈ R, ∀z, z ∈ C, λz + µz = λ¯ + µ¯ . z z Démonstration. Pour le 1/ : si z = x + iy, alors z = x − iy et donc z = x + iy = z

Chapitre 18 Arithmétique Objectifs Dans et [X ] qui sont des anneaux euclidiens : • Définir la notion de congruence. • Recherche des diviseurs communs : algorithme d’Euclide. • Notion d’éléments premiers entre eux : théorème de Bezout et ses conséquences. • Notion de Pgcd et de Ppcm. • Notion d’éléments premiers (ou irréductibles), décomposition en facteurs premiers. Sommaire I) Divisibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1) Rappels . . .

Avertissement Ces notes ont été redigées pour servir de support au cours M11 “Analyse réelle I ”, enseigné aux étudiants de la première année de la licence STS, mention mathématiques. Il s’agit d’un résumé du cours. Ainsi, les démonstrations des théorèmes ne sont par reportées ici, mais elles sont développées pour la plupart pendant le cours. Il ne faut donc pas considérer ces notes comme un texte de référence et les étudiants sont fortement invités à consulter des livres d’analyse. Ces notes contiennent