Théorème de la bijection

Si A admet un plus grand élément, alors c'est la borne supérieure de A. Si A admet un plus petit élément, alors c'est la borne inférieure de A. • Théorème d'existence Toute partie non vide et majorée (resp. minorée) de R admet une borne supérieure (resp. inférieure). 3.3 Droite numérique achevée Pour ne pas avoir de restriction dans le théorème précédent, on considère un nouvel ensemble noté R obtenu à partir de R par l'adjonction de deux éléments notés −∞ et +∞ . On prolonge à R la relation

Un+1+ 4 > 3 × Un + 4 et donc 3 × Un+1+ 4 > 3 × Un + 4 soit Un+2 > Un+1 :Conclusion pour tout n ∈ IN Un+1 > Un , ce qui signifie que la suite ( Un) est croissante . ( 0,75 point ) c) La suite (Un) est une suite croissante et majorée donc d'après le théorème de la convergence monotone elle converge vers une certaine limite .( 0,5 point ) De plus comme Un+1 = f (Un) avec f( x) = 3 x + 4 et que f est une fonction continue sur IR+ , il en résulte que = f( ) , soit = 3 + 4 ,d'où ² = 3 + 4 soit ² – 3 – 4

propriétés algébriques, puisqu’elles sont les mêmes que celles d’une puissance : [pic] Quels que soient a et b réels : [pic] [pic] Il est également important de connaître une valeur approchée de La fonction exponentielle réalise une bijection de R sur ] 0 ; [pic][ Cela signifie que pour tout réel y >0, il existe un et un seul x réel tel que y = exp(x). On peut donc définir la fonction réciproque de la fonction exponentielle, qui à tout réel y strictement positif associe le réel x tel

série entière ? ?? ? ? pour qu’il existe ? ∈ ℝ[?] ?⩾0 tel que ∀? ∈ ℳ? (ℝ), 2014-02-15 17:39:12 ?(?) = ? (?) Page 1/3 III Deux applications III.A – Première application : une formule de trigonométrie matricielle III.A.1) Rappeler l’énoncé du théorème permettant de faire le produit de deux séries de nombres complexes. On admet dans la suite de la partie III que le résultat valable pour les séries de nombres complexes est encore valable pour des séries de matrices dans ℳ? (ℂ). III.A.2) Pour (?

La fonction logarithme népérien, définie sur R+∗ et notée ln, est la bijection réciproque de la fonction exponentielle : ∀x>0 , ln(x)=y⇔x=ey Pour tous réels strictement positifs x et y : ln(xy)=ln(x)+ln(y) Pour tout réel x : ln(ex)=x Pour tout réel x strictement positif : eln(x)=x ln(1)=0 BLe signe TS01304-01.PNG CLes propriétés algébriques Pour tous réels strictement positifs x et y, et tout entier naturel n : ln(xy)=ln(x)+ln(y) ln(1x)=−ln(x) ln(xy)=ln(x)−ln(y) ln(xn)=nln(x) ln(x√)=12ln(x)

arguments qui la composent ; la pratique de la démonstration leur apprend à créer et à exprimer eux-mêmes de tels arguments. L’intérêt de la construction d’un objet mathématique ou de la démonstration d’un théorème repose sur ce qu’elles apportent à la compréhension-même de l’objet ou du théorème : préciser une perception intuitive, analyser la portée des hypothèses, éclairer une situation, exploiter et réinvestir des concepts et des résultats théoriques. Calculer, manipuler des symboles, maîtriser

= np < np+1 = ψ (p + 1) Donc ψ : N → N est strictement croissante.Ainsi lim uψ(p) = lim un = 1. n→+∞ n→+∞ 3. (1pt : chaque ⇒ vaut 0 .5pt)Il suffit de remarquer que t → f est uniformément continue sur [a, b[ ⇔ b−a b+a 2 t+ 2 , réalise une bijection de [−1, 1[ sur [a, b[ . ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x, y ∈ [a, b[ , |x − y| ≤ δ ⇒ |f (x) − f (y)| ≤ ε b−a b+a b−a b+a ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x = t+ ,y = s+ ∈ [a, b[ , 2 2 2 2 b−a b+a b−a b+a |x − y| ≤ δ ⇒ f t+ −f s+ ≤ε 2 2 2 2 2 ⇔ ∀ε > 0, ∃δ = δ > 0, ∀t, s ∈

variables aléatoires réelles et leurs lois. . . . . . . . . . . . . . . L’espérance mathématique d’une variable aléatoire 5.1 Les variables aléatoires étagées. . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Espérance d’une variable aléatoire quelconque. . . . . . . 5.3 Théorème du transport. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Variables aléatoires indépendantes et espérance du produit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5 6 Moments, fonctions génératrices, transformées de Laplace 6.1 Moments

développera des techniques de base permettant une maîtrise des représentations graphiques et une bonne connaissance des méthodes statistiques. II CONSEILS METHODOLOGIQUES: 1) L'activité mathématique ne consiste pas en une suite bien ordonnée de théorèmes: toute introduction d'une notion nouvelle doit être précédée de l'étude d'une situation permettant d'appréhender cette notion et suivie d'applications immédiates. 2) L'enseignement des mathématiques ne saurait se réduire à un ensemble de résultats

et surjective, elle est bijective. Dans les 2 autres exemples précédents, les fonctions ne sont pas des bijections. X = [− π2 , + π2 ] Serge Dumont Y = [−1, +1], f : x → sin x. Mathématiques 2015-2016 17 / 44 5 – Fonctions injectives, surjectives, bijectives, réciproques 5.4 – Fonctions réciproques Définition 13 Soit f : X → Y une fonction bijective. D’après la définition de la bijection, pour tout élément de l’ensemble d’arrivée y correspond un unique élément de l’espace de départ X noté