Théorème de la bijection

continue sur [-3 ; 3] : en effet, elle n'admet pas de limite en 1 (la courbe fait un "saut"). Néanmoins, elle est continue sur [-3 ; 1[ et sur ]1 ; 3]. · Toute fonction polynôme est continue sur . Théorème 1 : Toute fonction dérivable sur un intervalle I est continue sur cet intervalle. Théorème admis. Définition 2 : Soit ¦ une fonction définie au moins sur un intervalle I. L'image de I, notée ¦(I), est l'ensemble de tous les nombres ¦(x) où x Î I. Exemple : ¦(x) = x ; I = ]-1 ; 2] ; ¦(I) = [0

48. Théorème des valeurs intermédiaires Oral 1 Plan Introduction 1 1 Le théorème des valeurs intermédiaires 2 2 Le théorème de bijection 2.1 Le théorème de bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Extensions du théorème de la bijection . . . . . . . . . . 2.3 Recherche de solutions approchées de l’équation f (x) = k 2.3.1 La méthode par dichotomie . . . . . . . . . . . . 2.3.2 La méthode par balayage . . . . . . . . . . . . . . 5 5 6 6 7 8 . . . . .

[pic]. Donc f tend vers [pic] en [pic]. • En b : f est continue à droite et à gauche, donc f est continue en b. • Pour [pic], on fait la même chose que le premier point. 2) Sommes, produits… Théorème : - La somme de deux fonctions continues est continue. - Le produit d’une fonction continue par un réel est continu. - Le produit de deux fonctions continues est continu. - L’inverse, lorsqu’il est défini, d’une fonction

des y ? O 1/8 1/4 1/2 1 x Définition mathématique d’une limite finie en une valeur finie 13 Exemples 14 Limite infinie en une valeur finie 15 Limite finie en l’infinie 16 Exemples 17 Limite infinie en l’infinie 18 Exemples 19 Théorème des croissances comparées 20 Concrètement … 21 Formes indéterminées 22 23 Limite à droite, limite à gauche 24 Exemples 25 Passage à la limite dans les inégalités 26 Continuité d’une fonction Continuité en un point 27 y y O x0 O

-1≤x<0 Ent(x)=0 Ent(x)=1 . . Ent(x)=-1 Remarque : Toute fonction continue n'est pas nécessairement dérivable Exemples : • f(x)=|x| • f(x)= √x Théorème des valeurs intermédiaires Soit f une fonction continue sur un intervalle [a ;b] Si k est compris entre f(a) et f(b), alors l’équation f(0)=k admet au moins une solution. Théorème de la bijection (corolaire) Si f est une fonction continue et strictement monotone sur [a ;b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l’équation f(x)=k

Utilisation des dérivées 1. Sens de variation d'une fonction Théorème 3 Soit une fonction dérivable sur un intervalle I. Alors : est croissante sur I ssi pour tout I, . est décroissante sur I ssi pour tout I, . est constante sur I ssi pour tout I, . Remarque : ce théorème n'est valable que sur un intervalle. Par exemple la fonction est décroissante sur et sur , mais pas sur . 2. Lien avec la notion de bijection Théorème 4 Soit une fonction dérivable sur l'intervalle [a, b].

Limite, continuité, théorème des valeurs intermédiaires, dérivabilité, théorèmes de Rolle et des accroissements finis I Limites Continuités Exercice 1 : Soit ] [ la fonction définie par : ( ) √ Déterminer les limites de , si elle existent, en Allez à : Correction exercice 1 : Exercice 2 : Soit √ . et en la fonction définie par ( ) Montrer que admet une limite en Allez à : Correction exercice 2 : ( ) et déterminer cette limite. Exercice 3 : Déterminer

On considère la fonction ƒ définie sur £ la fonction ƒ définie par ƒ(x) = \ {1} par ƒ(x) = • Trouver trois réels a, b et c tels que ƒ(x) = ax + b + 2 x 2 − 3x + 2 . x −1 c x −1 • Préciser les éventuelles asymptotes. 5) Théorèmes de comparaison "une fonction plus grande qu'une fonction qui tend vers +∞, tend vers +∞" "une fonction inférieure à une fonction qui tend vers −∞, tend vers −∞" u(x) et si lim u(x) = +∞,   • si, pour tout réel x assez grand, on a ƒ(x)

) Calcul des limites : ( ) D’où : ( ) ( ) ( ) [ ( ) Sur ] , donc l’équation ( ) n’a pas de solution ; sur l’intervalle ] [, la fonction est continue (car dérivable) et monotone croissante de à . Ceci est valable a ] donc, d’après le théorème de la bijection, il existe un unique réel fortiori sur l’intervalle [ [ ] tel que ( ) . Question 3 D’après la question 1, les fonctions ( ) ( ) et sont de même signe donc : Calcul des limites : ( ) D’où : ( ) ( ) D’autre part : ( ) ( ) Question 4.a

c tels que ƒ(x) = ax + b + • Préciser les éventuelles asymptotes. 5) Théorèmes de comparaison "une fonction plus grande qu'une fonction qui tend vers +∞, tend vers +∞" "une fonction inférieure à une fonction qui tend vers −∞, tend vers −∞" alors ƒ admet une limite en +∞ et lim ƒ(x) = +∞ x→+∞ alors ƒ admet une limite en +∞ et lim ƒ(x) = –∞ x→+∞ Limites et contiuité page 2 G. COSTANTINI ¥ Théorèmes analogues pour les limites en –∞ et en a. ¤ • si, pour tout réel x