Soit F La Fonction Numérique Définie Par F X X Ln X 3x

Exercices - Séries numériques - étude pratique : corrigé Convergence de séries à termes positifs Exercice 1 - Quelques convergences - L2/Math Spé 1. On a limn→∞ n sin(1/n) = 1, et la série est grossièrement divergente. 2. Par croissance comparée, on a limn→∞ un = +∞, et la série est grossièrement divergente. On pouvait aussi appliquer le critère de d’Alembert. 3. On a : n2 un = exp 2 ln n − Il résulte de lim∞ ln n √ n √ √ ln n n ln 2 = exp − n ln 2 − 2 √ n lim n2 un = 0, . = 0 que

d’informatique. (c) Tout aussi vivement conseillée est la possession d’une adresse internet. 2. Sur le plan bibliographique, aucun achat n’est obligatoire, le cours est construit pour être autosuffisant (un cours polycopié est distribué, une version numérique est disponible). De plus, plusieurs livres sont consultables au CDI. Toutefois, si vous en avez envie ou bien si cela peut vous rassurer d’avoir des livres à disposition chez vous, vous une liste d’ouvrages : (a) Collection Tout en un (Dunod), Mathématiques

2 + 2 × 0, 8 + 2 × 0, 8 2 + … + 2 × 0, 8 45 1 − 0, 8 46 = 10(1 − 0,846 ) . = 2 ×  1 − 0, 8   S1 ≈ 10 . b. S2 = 100 + 100 × 1,01 + 100 × 1,012 + … + 100 × 1,0112 1, 0113 − 1  = 100 × = 10 000(1,0113 − 1 ) . 1, 01 − 1  S2 ≈ 1 381 . En fonction de n a. S1 = 1 + 1, 5 + 1, 5 2 + … + 1, 5 n −1 1, 5 n − 1  = = 2 ( 1, 5 n − 1 ) . 1, 5 − 1 b. S2 = 3 + 3 × 0, 9 + 3 × 0, 9 2 + … + 3 × 0, 9 n 1 − 0, 9 n +1 = 3 ×    = 30 ( 1 − 0, 9 n +1 ) . 1 − 0, 9   CHAPITRE 1 Suites 5 Somme

Révision d’algèbre et d’analyse Chapitre 1 : Fonctions d’une ou plusieurs variables réelles. Nombres complexes Équipe de Mathématiques Appliquées UTC Novembre 2009 suivant Chapitre I Fonctions d’une ou plusieurs variables réelles. Nombres complexes I.1 I.2 I.3 Fonctions d’une variable réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Fonctions de 2 variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Nombres complexes . . . . . . . . . . .

n=1 (ln n) z √ n n 2. ∑+∞ n=1 ( n) z 2 n 3. ∑+∞ n=0 (ln(n!)) z 4. ∑+∞ n=1 5. ∑+∞ n=1 6. ∑+∞ n=1 7. ∑+∞ n=0 1 2 ch 1n + cos 1n n C2n n nn z (ln(n!))a n z n!b n a n 1+bn z , (a, b) n4 n z ∈ (R∗+ )2 Correction [005745] Exercice 2 Calculer les sommes suivantes dans leur intervalle ouvert de convergence après avoir déterminé le rayon de convergence de la série proposée. 1 n 1) (**) ∑+∞ n=2 n(n−1) x 4n n 3n n 2) (**) ∑+∞ n=0 n+2 x x

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 5 Suites récurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 9 Limites et fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 1 Notions de fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 2 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

différentielle du premier ordre une équation du type : x' = f(t,x) où f est une fonction définie sur un ouvert U de 2 à valeurs réelles. x est une fonction du paramètre t et x' est la dérivée de x par rapport à t. Physiquement t représente le temps et x une quantité physique dépendant du temps. x est une solution sur I si, pour tout t de I, on a (t,x(t)) élément de U et, pour tout t de I, x'(t) = f(t,x(t)). Le plus souvent, on prendra f de classe C1 (f est continue ainsi que ses dérivées partielles). On

année(s) l’entreprise E a-t-elle réalisé le bénéfice le plus faible ? Déterminer, sous forme de pourcentage, le taux d’évolution du bénéfice en 2000 à ce bénéfice minimum. c) Une entreprise F annonce que l’indice de son bénéfice en 2006 par rapport à son bénéfice en 2000 est 105. Peut-on en déduire que l’entreprise F a réalisé en 2006 un bénéfice plus important que l’entreprise E ? Exercice 5 - (5 points) Le tableau ci-dessous donne l’évolution du montant horaire brut du SMIC (Salaire minimum

Relation de Bézout 42 1 17 Factorisation en nombres premiers 43 18 Propriétés de Q 44 19 Propriétés de Z/nZ 45 III 47 Polynômes 20 Polynômes 47 21 Division euclidienne 51 22 Racines de polynômes 54 23 Polynômes irréductibles 58 24 Fonctions symétriques 59 25 Fractions rationnelles 61 26 Décompositions de fractions rationnelles 62 27 Décomposition en éléments simples 64 28 Division suivant les puissances croissantes 66 IV 66 Algèbre linéaire 29 Espaces vectoriels 66 30

u13 = et de u99 = on obtient u100 = . 13 14 100 101 n . e. Pour n ജ 1, un = n +1 A. 1. u6 = Activité 3. D’une suite à une autre x Œ ]0 ; 6] , f (x) = 5 1. a. 4 ; u = 2, un +1 = f (un ). x 0 b. Il semble que, pour n ജ 0, 2 ഛ un ഛ 4. 2. a. La fonction f est strictement croissante sur ]0 ; 6] donc si 2 ഛ uk ഛ 4 , alors f (2) ഛ f (uk ) ഛ f ( 4 ) soit 3 ഛ uk +1 ഛ 4 donc 2 ഛ uk +1 ഛ 4 . 2 b. L’affirmation est justifiée : en effet, 2 ഛ u0 ഛ 4 donc 2 ഛ u1 ഛ 4 donc 2 ഛ u2 ഛ 4