Soit F La Fonction Numérique Définie Par F X X Ln X 3x

Gestion – Première année Mathématiques Unité d’enseignement M1 Document de cours Analyse à une variable réelle 1. Généralités sur fonctions et équations numériques 2. Notions de variations et de croissance (1) 3. Notions de variations et de croissance (2) 4. Optimisation de fonctions numériques 5. Familles de fonctions numériques et équations numériques paramétrées 6. Sommation, intégration Avertissement A l’exception de la leçon 6, ce document présente les notions de base annoncées dans

et n’enlève aucun point. Une réponse inexacte enlève 0,25 point. 1. On considère une fonction f définie et dérivable sur , de dérivée f '. Son tableau de variation est donné ci-dessous. On nomme C la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d’un repère orthogonal. |x |− ∞ − 2 2 + ∞ | |f '(x) | − 0 + 0 −

comment il va pouvoir tracer la courbe de la décoration. Tâche : Tu vas répondre aux diverses préoccupations en résolvant les trois problèmes ci-après. Problème 1 1. a) Exprime le point S comme barycentre des points E et F. ⎛ 1 ⎞ ; 0;1 ⎟ . b) Déduis-en que S a pour coordonnées ⎜ ⎝x +1 ⎠ 2. a) Calcule le volume en mètres cubes, de la pyramide ABCDS. b) Où faut-il placer le point S sur [EF] pour que la préoccupation de l'agriculteur en ce qui concerne les volumes soit prise en compte ? Problème 2 Compte

l’exercice est ramenée à 0. Soit f une fonction définie sur ] − ∞ ; 0[∪]0 ; +∞[ par : f (x) = 2x + 1 + On admet que la fonction f est dérivable sur ] − ∞ ; 0[∪]0 ; +∞[. On désigne par C la courbe représentative de f dans un repère orthogonal. Le tableau de variations de la fonction f est donné ci-dessous. ex ex −1 . 1 Dans l’intervalle ]0 ; +∞[, l’équation f (x) = e2 admet : aucune solution ; une unique solution ; deux solutions. 2 La tangente à la courbe C au point d’abscisse ln(1,5) admet un coefficient

Chap3 : Fonctions numérique à deux variables 1 2 3 4 5 Produit cartésien Fonctions de deux variables Limites et continuité Dérivées partielles Extremums - optimisation Pr. Otheman Nouisser ENCG- Kénitra, 2014 Définition Application Soient E et F deux ensembles quelconques non vides. On appelle produit cartésien de E par F et on note E × F , l’ensemble défini par : E × F = {(x, y )/x ∈ E et y ∈ F }. Exemple R2 = R × R R+ × R− = {(x, y )/x ≥ 0 et y ≤ 0} R3 = R × R × R Pr. Otheman Nouisser

la fonction f : x ! y ' = − y2 . La fonction f : x ! 2 1 = −   = − [ f ( x)] . 2 x  x f est donc bien une solution particulière de l’équation différentielle y ' = − y 2 . 1 est une solution particulière de l’équation différentielle : x 1 2 1 est dérivable sur R* et ∀x∈R* x f '( x) = − I Sauriez-vous trouver une solution particulière (non forcément dérivable sur R) de l’équation 1 ? y' = 2y 1 1 . La fonction f : x ! x est dérivable sur ]0 ; +∞[ et ∀x∈ ]0; + ∞ [ f '( x) = =

Rappels sur les fonctions, les dérivées et leur utilisation 1. LES FONCTIONS Une fonction numérique f d’une variable réelle est une application définie d’un ensemble Df inclus dans  et qui prend ses valeurs dans . On la note : f:     Df   y  f ( x) x On appelle x l’antécédent de y par f. f(x) est l’image de x par la fonction f Df est l’ensemble de définition. 2. DEUX FONCTIONS QU’ECONOMISTES ET GESTIONNAIRES APPRECIENT : LA FONCTION EXPONENTIELLE

1 CHAPITRE 2 : LIMITES ET CONTINUITE DE FONCTIONS NUMERIQUES D’UNE VARIABLE REELLE 1. Limites : 1.1. Notion de limite et définitions : 1.1.1. Limite en un point x0 de ℝ : Soit une fonction f définie sur un ensemble E qui est un intervalle ou une réunion de deux intervalles tels que l’union de E et de x0 soit un intervalle. Exemples : E = ]0 ; 1] et x0 = 0 E = [-1 ; +∞[ et x0 = -1 La fonction f admet une limite l lorsque x tend vers x0 si elle vérifie la propriété suivante : ∀�� ∈ ℝ+

+ = . 3 3 3 9 9 10 38 Ainsi S1 = et S2 = . 3 9 u 2 Comme 0 < q < 1, la limite de la suite (Sn ) est finie et lim Sn = 0 = = 6. 2 1− q n→+∞ 1− D’où lim Sn = 6. 3 n →+∞ On donne, pour n ≥ 0, un = 2n +1 Exercice 8 1  oit (u ) la suite définie, pour n ≥ 0, par u = S . Calculons u 0 = . n n 2 2n +1 n 3 3 3  1 On peut écrire un = = d’où un = ×   . 2  2 2n +1 2n × 2 3 3 1 La suite (un ) est une suite géométrique de raison q = et de premier 2 3 terme u 0 = . 2 2  omme 0 <

temps que le devoir (voir exercice Exercice (5 points) Soit f la fonction définie sur par f ( x ) = – x 2 + x – 1 et P sa courbe représentative dans un repère orthonormal ( O ; i, j ) dont l’unité graphique est 2 cm. Déterminer le sens de variation de f sur et tracer P. Préciser le signe de f ( x ) sur . 1 On pose g ( x ) = -------- et on appelle la courbe représentative de g dans le même repère. f(x) a) Justifier que g est définie sur . b) Déterminer le sens de variation de g sur et tracer . c)