Sîn

tout x ∈ [−ℓ, ℓ] on a : ∞ ∞ a0 nπ nπ a0 (a) f (x) = + an cos(nωx)+bn sin(nωx) = + an cos x + bn sin x 2 n=1 2 n=1 ℓ ℓ (b) (c) ω π ω bn = π an = 1 ℓ −π/ω π/ω 1 f (x) sin(nωx)dx = ℓ −π/ω f (x) cos(nωx)dx = π/ω En remplaçant les quantités (b) et (c) dans (a), on a :  ∞  ℓ ℓ  1 1 nπ nπ nπ nπ    f (x) = f (x)dx +  f (t) cos t cos x + sin t sin x dt =    2ℓ −ℓ ℓ n=1 −ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ 1 2ℓ ℓ −ℓ nπ x dx ℓ −ℓ ℓ nπ f (x) sin x dx ℓ −ℓ f (x) cos ℓ 1 f (x)dx + ℓ ∞ ℓ f (t) cos −ℓ

cos α = x M sin α = y M Autrement dit : M ( cos α, sin α ). K J M O H I Il est essentiel de bien comprendre cette définition car elle permet de retrouver simplement un certain nombre de résultats. π 1 π 3 c. Exemples : dans l’activité 4 nous avons montré que, par exemple, cos -- = --, sin -- = ------ etc. 3 2 3 2 (Pour retrouver ces résultats, ou des approximations de ces résultats avec la calculatrice, ne pas oublier de la mettre en mode « radians ».) d. Tangente de α sin α Si cos α ≠

de Descartes-Snell 1.2.1 – – – – – – – Réflexion S i N r R Soit Σ une surface réfléchissante et SI un rayon incident. SI : rayon incident IR : rayon réfléchi i : angle d’incidence r : angle de réflexion I : point d’incidence IN : la normale SIN : plan d’incidence I Σ Les lois de Descartes-Snell pour la réflexion sont : ♠ Le rayon réfléchi appartient au plan d’incidence. ♠ L’angle d’incidence i est opposé à l’angle de réflexion r : i = −r =⇒| i |= − | r | Remarque- 1 Lorsque on tourne

. L'image réciproque par f d'une partie compacte de F est-elle nécessairement une partie compacte de E ? 1/4 PROBLÈME : PHÉNOMÈNE DE GIBBS Partie préliminaire 1. (a) Justier que la fonction t → On pose I = 0 π sin t est intégrable sur l'intervalle ]0; π]. t sin t dt. t ∞ (b) Rappeler le développement en série entière en 0 de la fonction sinus et déterminer, avec soin, une suite (uk )k≥0 vériant I = k=0 (−1)k uk . πn n.n ! 2. (a) Démontrer que la suite +∞ πn n! converge

k =k.j =0 D’où : V1.V2 =x1x2 +y1y2 +z1z1 i k j 3. Produit vectoriel de deux vecteurs a) Définition Le produit vectoriel de deux vecteurs v1 et v2 est u n vecteur w; v1 et v2 faisant entre eux un angle x. v1 ∧v2 =w || w|| = ||vd1||.||v2||. Sin x Tel que : Le vecteur w est un vecteur perpendiculaire à v1 et à v2 (au plan forme par les deux vecteurs v1et v2) - Le trièdre formé par les trois vecteurs (v1, v2, w) est un trièdre droit. 3.1 Expression analytique du produit vectoriel -Soit un

5 Calculer les racines carrées de 1, i, 3 + 4i, 8 − 6i, et 7 + 24i. Indication Correction Vidéo [000027] Exercice 6 1. Calculer les racines carrées de 1+i √ . 2 En déduire les valeurs de cos(π/8) et sin(π/8). 2. Calculer les valeurs de cos(π/12) et sin(π/12). 1 Indication Correction Vidéo [000029] Exercice 7 Résoudre dans C les équations suivantes : z2 + z + 1 = 0 ; z2 − (1 + 2i)z + i − 1 = 0 ; √ z2 − 3z − i = 0 ; z2 − (5 − 14i)z −

est un triangle re
tangle en S tel que : SC = 4,2 cm et ŜBC = 71°.Cal
uler la longueur BC.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Dans le triangle CSB re
tangle en S, sin ŜBC = SC BC sin 71 = 4,2 BC BC = 4,2 sin 71 ≃ 4,44 cm ◮2. NV D est un triangle re
tangle en D tel que : DV = 5,9 cm et V N = 11,1 cm.Cal
uler la mesure de l'angle D̂V N .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Dans

Exercices - Séries numériques - étude pratique : corrigé Convergence de séries à termes positifs Exercice 1 - Quelques convergences - L2/Math Spé 1. On a limn→∞ n sin(1/n) = 1, et la série est grossièrement divergente. 2. Par croissance comparée, on a limn→∞ un = +∞, et la série est grossièrement divergente. On pouvait aussi appliquer le critère de d’Alembert. 3. On a : n2 un = exp 2 ln n − Il résulte de lim∞ ln n √ n √ √ ln n n ln 2 = exp − n ln 2 − 2 √ n lim n2 un = 0, . = 0 que

non autorisée est un délit ∞ xn n=0 ∞ n=0 ∞ n=1 = 1 1−x ∞ n (−1) |x| < 1 n=0 ∞ xn n! = ex xn n = − ln(1 − x) n (−1) |x| < ∞ n=0 x 2n (2n)! = cos x |x| < ∞ x 2n+1 (2n + 1)! = sin x |x| < ∞ |x| < 1 c) Équations différentielles Il existe des méthodes générales de résolution dans un petit nombre de cas rappelés ci-dessous : 3 Chapitre 1 • Outils mathématiques de base • Équations du premier ordre F(x, y, y )

x l’ordonnée de M. On le note sin x. Propriétés :  cos² x + sin² x = 1  - 1 ≤ cos x ≤ 1 et - 1 ≤ sin x ≤ 1.  Pour tout réel x et pour tout entier relatif k : cos (x + 2k) = cos x sin (x + 2k) = sin x 3) Angles associés Propriétés : Pour tout réel x :       Valeurs remarquables x 0  /6  /4  /3  /2 cos x 1 /2 /2 1 /2 0 sin x 0 1 /2 /2 /2 1  Equations