Sîn

Mais on doit ensuite linéariser le cosinus au carré, en utilisant la formule cos2 a = ce qui donne I = = 1 4 0 π 2 1 − 2 cos(2x) + 0 π 2 1 + cos(4x) dx 2 1 1 1 1 − cos(2x) + + cos(4x) dx 4 2 8 8 π 2 = = 3x 1 1 − sin(2x) + sin(4x) 8 4 32 3π 16 0 Cette méthode est un peu (trop) longue, et risquée, et demande une bonne mémoire de la 1ère ! (2) la meilleure, linéariser avec l'aide des formules d'Euler : sin4 x = = eix − e−ix 2i 1 4ix (e − 4e2ix + 6 − 4e−2ix

angle par : sinus de cet angle par : sin ABC = BC AB cos ABC = . BC ( ) ( ) Remarques ( ) ( ) a) Ces deux nombres, sin ABC et cos ABC ne dépendent que de l’angle ABC et non pas du triangle dans lequel on observe cet angle. C C’ Dans la figure ci-contre, les angles ABC et A'BC' qui sont égaux ont même sinus et même cosinus (conséquence du théorème de Thalès). ( ) ( ) sin( ABC ) ou cos ( ABC ) on b) Chacun de ces deux nombres, sin ABC et cos ABC caractérise l’angle

chevrons >>). La réponse est affichée et stockée dans la variable ans (answer en anglais est la réponse). La plupart des fonctions mathématiques usuelles sont définies dans Matlab, et ceci sous une forme naturelle (sin, cos, exp, ...). de même que certaines constantes (pi ...). >> 2*sin(pi/4) ( ans = 1.4142 1.1. Variables On peut indiquer le nom de la variable dans laquelle le résultat doit être stocké (commence par une lettre, moins de 19 caractères). >> x = pi/4 ( x = 0.7854 Le nom

2 sur R x2 + 1 2. f : x −→ 2 − 3x sur R +x+1 x2 Exercice 6. Soit f la fonction définie sur R∗ par : f (x) = x2 + 3x + 2 x Démontrer que la droite D d’équation y = x + 3 est une asymptote à la courbe Cf en +∞ et en −∞ 1 + 2 sin x √ sur ]0; +∞[ 1+ x 1 3 √ ≤ f (x) ≤ √ 1. Démontrer que, si x > 0 alors − 1+ x 1+ x Exercice 9. Soit f (x) = 2. En déduire que f admet une limite en +∞ dont on précisera la valeur. Exercice 11. Soit f une fonction décroissante sur

point M r = xˆx + yˆy + zˆz e e e Produit scalaire A · B A · B = AB cos θ = Ax Bx + Ay By + Az Bz Cas spécial 1 : A · n = A cos θ, la projection de A sur n ˆ ˆ Cas spécial 2 : A · A = A2 , le carré de la norme Produit vectoriel A ∧ B Norme : A ∧ B = AB sin θ Orientation : règle de la main droite, de A vers B ex ey ez ˆ ˆ ˆ A ∧ B = Ax Ay Az Bx By Bz cart cart (en coord. cart.) A ∧ B ⊥ A et B 6 5 www.polytech.unice.fr/~aliferis École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia Département

2n + 1 de la fonction sin. En déduire les dérivées d'ordre 2n et 2n + 1 de la fonction cos. Rappeler la formule de Leibniz. Calculer la dérivée d'ordre n de la fonction f : t → t2 eω (t). (b-1) Montrer que si ω est non nul, alors : 2e i(1 − eiωT ) = MT (eω ) = ωT iωT 2 sin( ωT ) 2 . ωT (b-2) Montrer que si ω est non nul, alors eω est moyennable et que M (eω ) = 0. (b-3) Déterminer MT (sin) et MT (cos). (b-4) En déduire que sin et cos sont moyennables et donner M (sin) et M (cos). (b-5) Montrer

Formule des sinus : Sin A / BC = sin B / AC = sin C / AB Démonstration de la formule : ⇨ Formule des sinus : [pic] Soit le triangle quelconque ACB. [AH], [BG] et [CI] ses trois hauteurs. A, B, C les angles du triangle. Nous allons d’abord prendre comme base la formule de l’aire d’un triangle qui est : A = (Base x hauteur) / 2 Nous avons alors A = (BC x AH) / 2 = (AB x CI) / 2 = (AC x BG) / 2 D’autre part : - sin B = (AH /AB) => AH = AB x sin B -sin A = (CI /AC) => CI

:= 1[�A 2 ;A 2 ] (A > 0) A � sin(�Av) �Av � sin(x) x �P 1 � 4B := (1� jtj B )1[�B;B] (B > 0) B � sin(�Bv) �Bv �2 � sin(x) x �2 �4 1 � e�ajxj (a > 0) 2a a2 + 4�2v2 1 a2 + x2 � a e�2�ajvj e�ax 2 (a > 0) r � a e � �2v2 a e�ax 1 a+ 2i�v � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � Table de la transformées de Laplace f L(f) f L(f) 1 1 p (Re(p) > 0) eat cos!t p�a (p�a)2+!2 (Re(p) > a) t 1 p2 (Re(p) > 0) tn n! pn+1 (Re(p) > 0) eat sin!t ! (p�a)2+!2 (Re(p) > a) 1p

eiθ + 1 et de eiθ − 1 pour θ ∈ R. Exercice 11 [ 02034 ] [correction] iθ Simplifier eiθ −1 pour θ ∈ ]−π, π[. e +1 sin(kθ) Exercice 12 [ 02035 ] [correction] Déterminer module et argument de ei.θ + ei.θ pour θ, θ ∈ R. n Cn = k=0 cos(kθ) et Sn = k=0 Exercice 5 [ 02029 ] [correction] n Calculer pour θ ∈ R et n ∈ N, Cn = k=0 n k cos(kθ) et Sn = k=0 n k sin(kθ). Exercice 13 Centrale MP Soient a, b ∈ C. Montrer [ 02356 ] [correction] |a + b| + |a − b| Exercice

0 t cos(nπt ) dt u(t ) = t donc v ′ (t ) = cos(nπt ) 1 On pose u ′ (t ) = 1 1 sin(nπt ) v(t ) = nπ 1 n 2 π2 et I = 1 t sin(nπt ) nπ cos(nπ) − 1 n 2 π2 1 − 0 1 nπ 1 sin(nπt )dt 0 t cos(nπt ) dt = 0 + 0 1 cos(nπt ) 1 0 = cos(nπ) . nπ 2. On considère la fonction f définie sur R , périodique de période 2,telle que : Pour la suite de l’exercice, on admet que : t sin(nπt ) dt = − 0 f (t ) = t f (t ) = 0 (a) Voir document réponse n°1. sur [0; 1[ sur[1;