Congruence

Term L spé La congruence Exercice 26 1. Dîtes si les nombres suivants sont des cubes d’entier naturel : a. 9 b. 27 c. 33 ×73 2. d. 119 ×196 ×673 e. 22 ×53 ×11 reaux non découpé qui auront été posés. 2. Le sol de la cuisine est un rectangle de longueur 4,55 m et de largeur 3,85 m. On veut carreler cette pièce avec un nombre entier de dalles carrées, sans aucune découpe. a. Donner la liste des diviseurs de 455 puis la liste des diviseurs de 385. b. Donner la liste des diviseurs communs à 455 et

par b. On sait que a est impair, puisque a=3⋅3⋅…⋅3. Donc r=1. Soient a = 3100 +1 et b = 9. Calculer la valeur du reste de la division euclidienne de a par b. On décompose : 3100 +1 = 32⋅50 +1 = 950 +1 = 9⋅949 +1. Comme 949 ∈9 on trouve r=1. 3 Congruence Théorème Soient n un entier naturel tel que n≥2, et a et b deux entiers relatifs. Les entiers relatifs a et b ont le même reste r∈Ð dans la division euclidienne par n si et seulement si a- b est un multiple de n. On dit alors que a et b sont congrus

© Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot T RIGONOMÉTRIE 1 Congruence Définition 1.1 Congruence Soient a, b et m trois réels. On dit que a et b sont congrus modulo m s’il existe k ∈ Z tel que a = b + km. On note alors a ≡ b[m]. Remarque. En pratique, on a souvent m = rπ avec r ∈ Q. Exemple 1.1 3π 2 ≡ π 2 [π]. Proposition 1.1 Propriétés de la congruence Réflexivité Soit a ∈ R. Alors a ≡ a[m]. Symétrie Soit (a, b, m) ∈ R3 . Alors a ≡ b[m] ⇐⇒ b ≡ a[m]. Transitivité

Exercices sur les congruences Exercice 1 Déterminer les congruences suivantes : 1) Modulo 5 des nombres suivants : 12 ; 45 ; 87 ; 12 ; 104 2) Modulo 7 des nombres suivants : 14 ; 85 ; 24 ; 46 3) Modulo 8 des nombres suivants : 12 ; 204 ; 36 ; 48 Exercice 2 Compléter la table de congruence suivante modulo 5 N 0 1 2 3 4 2N² Compléter la table de congruence suivante modulo 7 N 0 1 2 3 4 5 6 3N – 5 Compléter la table de congruence suivante modulo 4 N 0 1 2 3 N² - 2N + 3

EXPLORATION : observation de soi Je suis timide. Ma timidité m’arrête devant certaines choses dont je serais capable d’accomplir. Elle me fait parfois craindre de rencontrer des étrangers. La timidité fait parti de ma personnalité depuis plusieurs années, j’étais au secondaire et elle me hantait lors des oraux, lors des lectures devant la classe etc. Rendu au cégep, elle est encore présente, mais heureusement, elle a beaucoup diminué. Plusieurs travaux d’équipes, accompagnés de présentations

Chapitre 18 Arithmétique Objectifs Dans et [X ] qui sont des anneaux euclidiens : • Définir la notion de congruence. • Recherche des diviseurs communs : algorithme d’Euclide. • Notion d’éléments premiers entre eux : théorème de Bezout et ses conséquences. • Notion de Pgcd et de Ppcm. • Notion d’éléments premiers (ou irréductibles), décomposition en facteurs premiers. Sommaire I) Divisibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1) Rappels . . .

. . . 1.6.2 Propriétés éventuelles des relations binaires . . . . . 1.6.3 Relations d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.4 Relations d’équivalence, classes d’équivalence . . . . 1.6.5 Congruence modulo un réel strictement positif . . . 1.6.6 Division euclidienne et congruence modulo un entier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chapitre 1. Divisibilité et congruences Corrigés des « Pour se tester » 33. Questions sur le cours a) b divise a signifie qu’il existe un entier k tel que a  bk . b) Si a divise b et si b divise c, alors a divise c. c) Si d divise a et b, alors pour tous entiers relatifs m et n, ma  nb est divisible par d (ou ma  nb est un multiple de d). d) La division euclidienne de a par b se traduit par a  bq  r où q et r sont des entiers naturels tels que 0  r  b . e) a  b (mod m) signifie

musique La relation de congruence mod 12 Camille Durutte: • Technie, ou lois générales du système harmonique (1855) • Résumé élémentaire de la Technie harmonique, et complément de cette Technie (1876) « Two elements are congruent modulo 12 if their difference is equal to a multiple of 12 » (M. Babbitt: The function of Set Structure in the Twelve-Tone System, 1946) Ex: 3≡15 mod 12 3≡27 mod 12 car 15-3=1×12 27-3=2×12 Congruence mod 12 et structure de groupe La congruence modulo 12 est une

de tous les idéaux de A contenat H est idéal de A, appelé L’idéal engendré par H, noté 〈H〉, c’est d’ailleurs le plus petit idéal de A contenant H. ⇐⇒ x − y ∈ nZ On vérifie sans peine que n est une relation d’équivalence, appelée relation de congruence modulo n. ¯ si x ∈ Z alors x = {x + nk, k ∈ Z} = x + nZ est sa classe d’équivalence modulo n. notation L’ensemble quotient Z/ n est noté Z/nZ Théorème 3 : Si a est un élément de A, alors l’idéal engendré par {a} est l’ensemble : aA = {a x/x