Académie Internationale Mohammed VI 2011/2012 de l�Aviation Civile Cycle d�Ingén ieurs de l�Aviation C iv ile
Casablanca Examen d�analyse Filière :G énie In formatique
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Exercice 1 Soit f la fonction de la variable complexe dé�nie par: f(z) =
2z2ez
e2z + 1
:
1. Déterminer les singularités et les résidus.
2. Pour R > 0, on considère le contour rectangulaire �R dé�ni par x = �R, y = 0 et y = �. Calculer l�intégrale Z
�+R
f(z)dz.
3. En déduire la …afficher plus de contenu…

Exercice 2 À l�aide de la transformée de Fourier, déterminer la fonction g, continue et intégrable au sens de Riemann sur R, solution de l�équation intégrale: g(x) = e�jxj +
1
3
Z +1
�1
e�jx�tjg(t)dt .
Exercice 3 Résoudre à l�aide de la transformée de Laplace l�équation intégrale suivante: y(x) +
Z x
0
�
(x� t)2 � 3
�
y(t)dt = ex.
Exercice 4 Soit fn(x) = ne�njxj, x 2 R et n � 0. Calculer, au sens des distributions, la limite de la suite (Tfn)n lorsque n �! +1.
Exercice 5 Trouver la suite x(n) qui a comme transformée en z:
X(z) = z2 � 2z + 1 z2 � 6z + 9 .
1Table de transformées de Fourier f(x) F(f)(v) f(x) F(f)(v)
PA := 1[�A
2
;A
2 ]
(A > 0) A
�
sin(�Av)
�Av
� sin(x) x
�P 1
�
4B := (1� jtj
B
)1[�B;B] (B > 0) …afficher plus de contenu…

(p�a)2�!2 (Re(p) > a+ !) cos 2 p !tp
�t
e
�!
p p p
(Re(p) > 0) eat cosh!t p�a
(p�a)2�!2 (Re(p) > a+ !) sin 2 p !tp
�t
e
�!
p p 3
2
(Re(p) > 0) 1p
�t
e� a2 4t
1p
p e�a p p � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
Tableau:Transformées en z
Suite x(n) Transformées en z Domaine de convergence
�(n) = (1; 0; : : : ; 0; : : :) 1 convergente 8z
U(n) = (1; 1; : : : ; 1; : : :) z z � 1 jzj > 1
U(n� k) = (0; : : : ; 0| {z } k fois
; 1; : : : ; 1; : : :)
1
zk�1(z � 1) jzj > 1 an z z � a jzj > jaj n z
(z � 1)2 jzj > 1 nan�1 z
(z � a)2 jzj > jaj
Ckn = n! k!(n� k)! z (z � 1)k+1 jzj > 1
Ckna
n�k z
(z � a)k+1 jzj > jaj an � bn a� b , a 6= b z (z � a)(z � b) jzj > max(jaj ; jbj) cos(an) z2 � z cos(a) z2 � 2z cos(a) + 1 jzj >