Scalaire

matrices . . . . . . . . . . e ee 1.4.1 Egalit´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.4.2 Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Soustraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.4 Multiplication par un scalaire . . . . . . . . . . . . 1.4.5 Produit de deux matrices . . . . . . . . . . . . . . 1.4.6 Propri´t´s de la multiplication . . . . . . . . . . . ee 1.4.7 Division de deux matrices . . . . . . . . . . . . . . 1.4.8 Exercice impliquant des op´rations

· · a2p    famille A de np éléments de K présentée sous la forme d’un tableau de la forme  . . . , noté A = aij 1 i n , . .   . 1 j p . . . an1 an2 · · · anp   où aij ∈ K pour tout (i, j) ∈ 1, n × 1, p . a1j  a2j  Le scalaire aij est appelé coefficient de A de position (i, j). Si j ∈ 1, p , la matrice . est appelée la j ème colonne de A, et    .  i ∈ 1, n , la matrice ai1 ai2 · · · aip est appelée la ième ligne de A. . anj • L’ensemble des matrices de taille

meeki (Meeki) Etroplus spp Hemichromis spp (Acara) Herotilapia multispinosa (Cichlidés arc-en-ciel) Lamprologus spp Papiliochromis spp Pelvicachromis pulcher (Pulcher) Pelvicachromis taeniatus (Cichlidés émeraude) Pterophyllum scalare (Scalaire) Symphysodon spp (Discus) Tropheus spp Famille des bélontidés Betta splendens (Combattant) Colisa spp (Colisa) Macropodus opercularis (Poisson paradis) Trichogaster leeri (Gourami mosaïque) Trichogaster trichopterus (Gourami bleu) Trichogaster

Montrer que pour tout , on a En particulier si , on a Théorème 5.15 (Déterminant d'un endomorphisme )   Soient E un K- espace vectoriel de dimension finie n et u un endomorphisme de E. Alors il existe un unique scalaire K tel que pour toute base de E on a Ce scalaire s'appelle déterminant de u et est noté det(u). Travail 5.16   Donner la preuve du théorème 5.15 ci-dessus. Travail 5.17   Soient un K- espace vectoriel de dimension finie n, u et v deux endomorphismes de E. Prouver les

fichiers de mon site pour les installer sur le vôtre. MATRICES PLAN I : Matrice associée à une application linéaire 1) Définition 2) Somme de matrices 3) Produit par un scalaire 4) Produit de matrices 5) Rang d'une matrice II : Anneau des matrices carrées 1) Définition 2) Matrice identité 3) Matrices particulières Matrices scalaires Matrices diagonales Matrices triangulaires Matrices nilpotentes Matrices inversibles III : Transposition 1) Définition 2) Propriétés 3) Matrices symétriques et antisymétriques

de A. λ = −2 : [A + 2I |0] = 3 x1 = − x2 =⇒ x = 4 x2 libre 4 3 0 4 3 0 −− − − −→ r´duction e 1 3/4 0 0 0 0 3 3 − x2 − = x2 4 4 , x2 un scalaire quelconque. x2 1 3 4 1 1 −1 0 0 0 0 − =L −3 4 . Alors l’espace propre correspondant ` λ = −2 est L a λ = 5 : [A − 5I |0] = −3 3 0 4 −4 0 −− − − −→ r´duction e x 1 x1 = x2 =⇒ x = 2 = x2 , x2 un scalaire quelconque. x2 1 x2 libre Alors l’espace propre correspondant ` λ = 5 est L a Yasmine Samia (U of O) M´thodes Math´matiques II e e 1 1

appelle mineur d’un élément quelconque , le déterminant obtenu en supprimant la ligne et la colonne se croisant en . Il est noté. Exemple : mineur associé à Cofacteur d’un élément : Soit , on appelle cofacteur d’un élément quelconque , le scalaire Où si (i+j) est pair, et si (i+j) est impair. Le déterminant recherché  est égal à la somme, sur une ligne ou sur une colonne des produits . Exemple : Soit à calculer Si nous décidons de le développer suivant les éléments de sa 1ère

Microsoft Word - Corrigé des ex - Produit scalaire.docxCorrigé des exercices – PRODUIT SCALAIRE Exercice 1 : on considère le carré 𝐴𝐵𝐶𝐷 de centre 𝑂 et de côté 8. Calculer les produits scalaires suivants : a) 𝐴𝐵'''''⃗ . 𝐴𝑂'''''⃗ b) 𝐴𝐵'''''⃗ . 𝐴𝐷'''''⃗ c) 𝐴𝐵'''''⃗ . 𝐶𝐷'''''⃗ d) 𝐵𝑂'''''⃗ . 𝑂𝐷''''''⃗ e) 𝑂𝐵'''''⃗

Addition des matrices Soient A et B deux matrices de même type telles que : A  aij 1 i  m et 1 j  n B  bij 1 i  m 1 j  n Alors A+B est une matrice de même type : A+B  aij  bij 1i  m 1 j  n Produit d’une matrice par un scalaire Soient A  aij 1 i  m et   K, alors A  aij 1 i  m 1 j  n 1 j  n Produits de matrices Soient A et B deux matrices de même type telles que : A  aij 1 i  m et 1 j  n B  bij 1i n 1 j  p Alors la matrice

Version corrigée Fiche d’exercices Produit scalaire Page 1 sur 13 A Définition du produit scalaire A.1 Faire ses gammes 1 (Formule de base du produit scalaire) Calculer le produit scalaire −→u · −→v . 1. ‖−→u ‖ = 2, ‖−→v ‖ = 5 et (−→u ,−→v ) = π 6 . 2. ‖−→u ‖ = 3, ‖−→v ‖ = 1 et (−→u ,−→v ) = π 3 . 3. ‖−→u ‖ = 5 4 , ‖ −→v ‖ = 1 5 et (−→u ,−→v ) = −2π 3 . Solution : 1. −→u · −→v = ‖−→u ‖ × ‖−→v ‖ × cos(−→u ,−→v ) = 2× 5× cos(π6 ) = 10× √ 3 2 = 5 √ 3 2. −→u · −→v = 3 2 3. −→u · −→v = 5 4 × 1 5 × (−