Scalaire

17 Rappel sur le calcul vectoriel II/ RAPPEL SUR LE CALCUL VECTORIEL $ $ $ $ !$ $ $ 1/ GRANDEUR SCALAIRE( $ $%&$ ) Une grandeur scalaire est toujours exprimée par une valeur numérique suivie de l’unité correspondante. Exemple : le volume, la masse, la température, la charge électrique, l’énergie… ) 2/ GRANDEUR VECTORIELLE( On appelle grandeur vectorielle toute grandeur qui nécessite un sens, une direction, un point d’application en plus de sa valeur numérique appelée intensité

´ MINES-PONTS 2001. Fili`re MP. MATHEMATIQUES 1. e Corrig´ de JL. Lamard (jean-louis.lamard@prepas.org) e I.1. Premi`res propri´t´s. e e e a. Si x est vecteur co-propre (non nul) associ´ a µ 1 et µ2 il vient (µ1 − µ2 )x = 0 donc µ1 = µ2 car x = 0. e` cqfd. b. Si µ est valeur co-propre et x vecteur co-propre associ´, il vient imm´diatement (tenant compte de la semi-lin´arit´) e e e e e e que eiθ est ´galement valeur co-propre et que e−iθ/2 x est vecteur co-propre associ´. cqfd. c. Eµ est un espace

Séquence 5 1ère partie : Produit scalaire (1) 2e partie : Suites numériques (1) Séquence 5 – MA12 1 © Cned - Académie en ligne 1ère partie Produit scalaire (1) Sommaire 1. Pré-requis 2. Produit scalaire de deux vecteurs 3. Synthèse de la partie 1 de la séquence 4. Exercices d’approfondissement 2 © Cned - Académie en ligne Séquence 5 – MA12 1 Pré-requis A Théorème de Pythagore 1. Théorème de Pythagore C Vous connaissez bien sûr ce théorème. Théorème Le triangle ABC est rectangle en A

deux racines = 1 et = 2 . a=-1 donc a<0 ainsi l’ensemble solution est l’intervalle [1 ;2]. Le produit scalaire I. Différentes expressions du produit scalaire : 1. Vecteurs colinéaires : Définition : soient et deux vecteurs colinéaires non nuls, tels que et . • Si et sont de même sens : . • Si et sont de sens contraires : . • Si ou alors . • est le carré scalaire du vecteur 2. Vecteurs quelconques : Propriété 1 : Soient et deux vecteurs non nuls tels que et .

couple de fonctions (f, g) continues ` sur [0, 1] associe le produit scalaire: 1 1 t scal(f, g) = 0 f (t)g(t) 1 − 1 dt t Calculez pour tous i et j compris entre 0 et 15 le produit scalaire des fonctions xi et xj . Calculer la norme de la fonction √ pour ce produit scalaire. 3) D´terminer par l’algorithme de Gram-Schmidt les cinq premiers polynˆmes e o de la base orthonorm´e ´chelonn´e associ´e a ce produit scalaire (obtenus e e e e ` par orthonormalisation de la base canonique (ou par

Calcul vectoriel dans le plan et dans l’espace 4.1 Définitions et règles de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Systèmes de coordonnées . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Propriétés du calcul vectoriel . . . . . . . . . . . . 4.2 Le produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Le produit vectoriel (cross product) . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Interprétation géométrique du produit vectoriel . . 4.4 Le produit mixte

Calcul vectoriel dans le plan et dans l’espace 4.1 Définitions et règles de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Systèmes de coordonnées . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Propriétés du calcul vectoriel . . . . . . . . . . . . 4.2 Le produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Le produit vectoriel (cross product) . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Interprétation géométrique du produit vectoriel . . 4.4 Le produit mixte

en Newton (N) et AB en m ; et α représente l’angle entre les vecteurs Point maths : Le produit scalaire r r r r • Le produit scalaire des deux vecteurs u et v se note u . v r r • u . v est un nombre. Il peut être positif ou négatif. r r rx • Dans le repère mathématique O ; i ; j , si l’on a u   et y ( ) r  x' v ,  y' r r r  x r  x ' alors le produit scalaire u . v est égal à x x '+ y y ' . Autrement dit, u   . v   = x x '+ y y '  y  y ' r r r r r r r

avril Problème 1: [Un exemple de structure euclidienne]1 On considère l’espace vectoriel E = Rn [X]. Pour P, Q ∈ E on pose : n P |Q = i=0 P (i)Q(i). Partie I 1. Montrer qu’on définit ainsi un produit scalaire sur E. On notera P euclidienne du polynôme P associée au produit scalaire précédent. 2 la norme 2. Montrer qu’il existe une unique famille (L0 , ..., Ln ) de E telle que Li (j) = δi,j pour tout (i, j) ∈ {0, 1, ..., n}2 . Vérifier que la famille B = (L0 , ..., Ln ) est une base

sont nulles. a b . On écrit de 2 Vecteurs de R2 ou de R3 → − → − R Les coordonnées d’un vecteur dépendent de la base ( i , j ). On peut alors démontrer : Théorème I.1 → → Si − u et − v sont des vecteurs du plan, λ un scalaire (=un réel) alors a − → u = , b a′ − → v = b′ implique − → → u +− v = a a′ + b = b′ a + a′ b + b′ et a → λ− u =λ = b Définition I.2 λa λb Si P est un point du plan, les coordonnées