Scalaire

Mathématiques pour la biomécanique Rappel sur la notation des vecteurs La différence entre un scalaire et un vecteur est le fait que pour un vecteur, on a besoin de plusieurs spécificités. Une masse est un scalaire, une vitesse un vecteur. Définition Si on considère, dans l’espace (ensemble de points), un couple de points (A ; B) sachant que A est l’origine et B l’extrémité. Par AB passe une droite δ appelée support des points (A ; B). La longueur (A ; B) est la norme. (A ; B) est opposé

M1 – M´thodes e ■ Erreurs ` ´viter ae ! La m´canique est une science vectorielle : les fl`ches sur les vecteurs sont obligatoires 1 . e e −−→ −− → Il est interdit d’identifier un vecteur ` un scalaire : « vecteur = scalaire » n’a aucun sens ! a − → − → → − → Des pseudo-égalités du style ? = −?(? − ?0 ), 0 = ?− + ? ou − ?/ℛ = ?? sont non seulement ? ?− → (1) totalement incohérentes mais (2) très mal perçues au concours. ! Toujours commencer par faire un dessin représentant la

et vice versa. Voici e quelques exemples:     1 1 3 1 2 4  2 5  b =  3  b = [ 1 3 5 ]. A= A = 3 5 5 5 4 5 772 ` Algebre Matricielle L’addition et la soustraction des matrices fonctionnent exactement de la mˆme fa¸on que pour les scalaires, ` condition que les matrices puissent ˆtre e c a e additionn´es ou soustraites seulement si elles sont conformes. Dans le cas de e l’addition et de la soustraction, ceci signifie simplement qu’elles doivent avoir les mˆmes dimensions. Si A et B sont

PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée : 4 heures) L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve. Sur quelques questions de calcul différentiel Notations et conventions Pour tout entier n > 0, on note . , . le produit scalaire euclidien usuel et || . || la norme associée sur Rn , Sn−1 la sphère de rayon 1 dans Rn , Mn (R) l’espace des matrices réelles à n lignes et n colonnes, In la matrice identité dans Mn (R), GLn (R) le sous-ensemble de Mn (R) des matrices inversibles

Calculs vectoriels et produit scalaire Spécialité Mathématiques 1ère Année 2022-2023 I. Produit scalaire de deux vecteurs 1. Angle entre deux vecteurs On considère deux vecteurs tels que : et .L’angle défini entre les vecteurs noté  correspond à l’angle . 2. Définition On appelle produit scalaire de deux vecteurs non nuls le réel, noté défini par :Si et , alors on a :

dimension deux et que D est surjective. Dans toute la suite du probl`me, on suppose que la e fonction q est positive ou nulle sur [a, b] Deuxi`me Partie e On se propose de d´montrer que P admet une et une seule solution. e On munit E du produit scalaire , tel que pour tout (y, z) ∈ E × E, b y, z = a y(x)z(x) dx et on d´finit l’endomorphisme L de E tel que, pour tout y ∈ E, e L(y) = q exp (P )y − (y exp (P )) = − exp (P )D(y) (on ne demande pas de justifier la derni`re ´galit´) e e e (1)

1 Probl` me e [D’apr` s ENS option TA 1993] e ` NOTATIONS ET OBJECTIFS DU PROBLEME E est un espace vectoriel euclidien de dimension n ∈ N∗ . E × E → R, (x, y) → x, y est le produit scalaire sur E. x, y est la norme associ´ e au produit sca1aire. e E → R, x → x = L(E) est l’ alg` bre des endomorphismes de E, (O(E), ◦) est le groupe orthogonal de E, tA est la transpos´ e e e de la matrice A, F ⊥ est l’ orthogonal du sous espace vectoriel F de E, Imf et ker f d´ signent l’image et

PRODUIT SCALAIRE Préambule Le produit scalaire sert à calculer le travail (ou l’énergie) produit par une force qui s’applique sur un corps en mouvement. Le mathématicien allemand Grassmann (1809-1877) et le physicien chimiste américain Gibbs (1839-1903) le notent par un point ou une croix. La notion de travail d’une force correspond à l’énergie fournie par cette force lorsque son point d’application se déplace. Directement liée à celle du produit scalaire, ses domaines d’application

Exercice sur le produit scalaire 1) D’après une formule sur le produit scalaire : −→ AJ. −→ AC = 1 2 ( || −→ AJ ||2 + || −→ AC||2 − || −→ AJ − −→ AC||2 ) = 1 2 ( || −→ AJ ||2 + || −→ AC||2 − || −→ CJ ||2 ) = 1 2 ( AJ2 + AC2 − CJ2 ) On connait CJ = 1 2 . Il nous faut calculer AJ et AC. On calcule d’abord AJ . Dans le triangle ABJ rectangle en B, d’après le théorème de Pythagore : AJ2 = AB2 + BJ2 AJ2 = 12 + ( 1 2 )2 AJ2 = 1 + 1 4 AJ2 = 5 4 AJ = √ 5 4 AJ = √ 5 2 On calcule ensuite AC. Dans le triangle

d´signe un espace vectoriel euclidien orient´ de dimension n ≥ 1, muni du e e e produit scalaire not´ (x|y). La norme euclidienne associ´e est not´e ||x|| = (x, x). e e e e On note L(En ) l’ensemble des endomorphismes de En , S(En ) l’ensemble des endomorphismes sym´triques de En , O(En ) son groupe orthogonal et GL(En ) l’ensemble des endomorphismes inversibles de En . Par la suite, φ d´signe un autre produit scalaire sur En et on note Sφ = {x ∈ En / φ(x, x) = 1}. e I – Premi`re partie e 1. Montrer qu’il