Scalaire

Wiener, Fourier Transforms in the Complex Domain et The Fourier Integral and certain of its applications, ainsi que Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series. Je promets de m’y mettre bientôt. 3 Semaine 1 1. Produit scalaire hermitien. Espaces de Hilbert. L’espace l2 (N) est complet. 2. Si L ⊂ K avec K Hilbert, alors L est Hilbert si et seulement si il est fermé dans K. Projection orthogonale sur L, fermé dans K. Pour tout sous-espace L ⊂ K on ⊥ a L = (L⊥ ) . 3. Procédé

entoure et donc à mieux le représenter. 2) Les dimensions euclidiennes ou topologiques. La géométrie Euclidienne se traduit dans un espace euclidien qui par définition est un espace à une dimension finie, qui a des limites, muni d’un produit scalaire (opération algébrique s’appliquant au vecteur). La géométrie possède donc une dimension très vaste mais finie. Elle ne va donc pas plus loin (comme le dit sa définition) que la mesure d’angles et le calcul de distances. La dimension topologique

usuelles de dérivation : dérivée d’une somme, de − → − → λ · f , de f ◦ g, auxquelles s’ajoutent de nouvelles règles : THÉORÈME . − → → g Soient f et − deux fonctions vectorielles dérivables sur I , on a : − → → − → − → → → • dérivée du produit scalaire : f · − g = f ·− + f ·− . g g . − → → − → → − → → • dérivée du déterminant : det( f , − ) = det( f , − ) + det( f , − ). g g g − → − → • dérivée de la norme : si f ne s’annule pas, f − − → → f · f = − → . f 7.2 Pour terminer cette partie nous

(B, β) est le milieu du segment [AB]. On choisit souvent α = β = 1. On a alors + = . On obtient pour tout point M la forme vectorielle du « théorème de la médiane » dans le triangle ABM : + = 2 . En géométrie analytique ou avec le produit scalaire, on peut en vérifier les formes numériques : MA2 + MB2 = 2MI2 + et MA2 - MB2 = 2 . ou = 2 AB×IH où H est la projection du point M sur la droite (AB). Coefficients opposés : si α + β = 0 alors α + β = α ( - ) = α est un vecteur constant

ez V = ( X 1 + X 2 )ex + (Y1 + Y2 )e y + ( Z 1 + Z 2 )ez 1.2.2 Produit scalaire S = V1 · V2 V2 S est un scalaire α Par définition S = V1 V2 cos α V1 où l’angle α est défini par α = (V1 ,V2 ). • Le produit scalaire de deux vecteurs perpendiculaires est nul. • Pour les vecteurs unitaires ex , e y , ez on a : e x · e y = e y · ez = ez · e x = 0 e x · e x = e y · e y = ez · ez = 1 Expression cartésienne du produit scalaire S = (X 1 ex +Y1 e y + Z 1 ez ) · (X 2 ex +Y2 e y + Z 2 ez ) = X 1 X 2 +

Chapitre 9 ´ ´ ESPACES PREHILBERTIENS REELS ET COMPLEXES 1 Structure pr´hilbertienne e 1.1 Produit scalaire euclidien . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Exemples usuels d’espaces pr´hilbertiens r´els . . e e 1.3 Norme euclidienne sur un espace pr´hilbertien r´el e e 1.4 Espaces pr´hilbertiens complexes . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

e e e e = 1, m = 1, = 1. Le moment cin´tique e 2 Rappel : Un op´rateur vectoriel est d´fini par ses composantes qui sont des op´rateurs au sens ordinaire. e e e Elles ob´issent aux r`gles d’alg`bre vectorielle habituelle (somme, produit scalaire, produit vectoriel) e e e moyennant quelques pr´cautions concernant l’ordre des op´rateurs. e e En utilisant les r`gles de commutation e [x, px ] = [y, py ] = [z, pz ] = i [x, px ]f (x) = −i x (5) df d(xf ) − = if (x), (6) dx dx on montre que

: : S4 M 16 (Méthodes Quantitatives IV) Algèbre II CHAPIITRE 2 : PRODUIT SCALAIRE-ORTHOGONALITE CHAP TRE 2 : I- Produit scalaire dans et Espace euclidien ........................................................... 2 I-1 Définitions ...................................................................................................................................................... 2 I-2 Matrice d'un produit scalaire ...........................................................................

euclidiens Dans ce chapitre, on travaille seulement avec le corps de base R. Les lettres n, p, q . . . désignent des entiers naturels non nuls. Produit scalaire, norme et distance 1 1.1 Produit scalaire Définition (Produit scalaire, espace préhilbertien réel, espace euclidien) • Soit E un K-espace vectoriel. On appelle produit scalaire sur E toute forme bilinéaire symétrique définie positive, i.e. toute application (·|·) : E × E −→ R : ¬ ¡   λx + µy ¬z = λ(x|z) + µ(y|z) 1) bilinéaire

1. D´eterminer les valeurs propres et vecteurs propres de la matrice   1 0 1 A= 0 1 0  1 0 2 2. En d´eduire une diagonalisation de la matrice A dans une base orthonorm´ee. Exercice 3 Soit E un espace euclidien de dimension n muni du produit scalaire not´e < ·, · > et f un endomorphisme non nul de E qu’on suppose antisym´etrique, c’est-`a-dire tel que < f (x), y >= − < x, f (y) > pour tous x, y ∈ E. 1. Si F est un sous-espace vectoriel de E on note F ⊥ son orthogonal, d´efini par F ⊥ = {y ∈