Scalaire

Chap 7 Courbes param´tr´es e e 1 Pr´liminaire : Fonctions ` valeurs vectorielles e a E2  R2 est muni du produit scalaire et de la norme usuels. D´finition. Soit I un intervalle de R. Soit f : I Ñ R2 e . On dit que f a pour limite t ÞÑ pxptq, y ptqq en a si et seulement si : }f ptq ¡ } ÝÝÑ 0 t  p 1, 2q Ña 1 2 Propri´t´. f tend vers e e en a si et seulement si : 6 8x t Rappel. On dit qu’une fonction est de classe C1 lorsqu’elle est d´rivable et que sa d´riv´e est continue

Problèmes 119 Espaces préhilbertiens réels 129 Formes bilinéaires symétriques, formes quadratiques 130 4.1.1 4.1.2 130 132 Généralités Interprétation matricielle 123 124 126 Rappels sur les espaces euclidiens 137 4.2.1 4.2.2 137 141 Produit scalaire Orthogonalité Table des matières 4.3 4.4 4.5 CHAPITRE 5 5.1 5.2 CHAPITRE 6 6.1 © Dunod. La photocopie non autorisée est un délit. 6.2 6.3 Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien 146 4.3.1 4.3.2 146 153 Endomorphismes

zB '= ( 2 − 2i )( −4 + 2i ) + 1 = −3 + 12i = −3 ( 1 − 4i ) . b. Pour montrer que les droites (CB’) et (CA) sont orthogonales, il suffit de montrer que les vecteurs CB '−4 + 8i ) et CA ( 2 + i ) sont orthogonaux. ( Attention, pour parler de produit scalaire il faut revenir aux coordonnées cartésiennes. On a donc CB ' −4 8 2 1 1 5 et CA et on vérifie bien que CB ' = 0 . .CA Les droites (CB’) et (CA) sont bien orthogonales. 3. Soit M d’affixe z = x + iy où on suppose que x et y sont des entiers

ez V = ( X 1 + X 2 )ex + (Y1 + Y2 )e y + ( Z 1 + Z 2 )ez 1.2.2 Produit scalaire S = V1 · V2 V2 S est un scalaire α Par définition S = V1 V2 cos α V1 où l’angle α est défini par α = (V1 ,V2 ). • Le produit scalaire de deux vecteurs perpendiculaires est nul. • Pour les vecteurs unitaires ex , e y , ez on a : e x · e y = e y · ez = ez · e x = 0 e x · e x = e y · e y = ez · ez = 1 Expression cartésienne du produit scalaire S = (X 1 ex +Y1 e y + Z 1 ez ) · (X 2 ex +Y2 e y + Z 2 ez ) = X 1 X 2 +

Vecteurs ............................................................................................................ 16 Barycentre......................................................................................................... 19 Produit scalaire ................................................................................................. 23 Produit vectoriel................................................................................................ 24 Produit mixte .............

lin´aire par rapport ` sa seconde variable. De plus B(P, P ) ≥ 0 e e a et n’est nul que si ∀i ∈ [|0, n|], P (xi ) = 0. Si P ∈ Rn [X], on peut en d´duire que P = 0 (un e polynˆme non nul de degr´ n admettant au plus n racines). Ainsi, B est un produit scalaire sur o e Rn [X]. Le r´sultat est faux sur C(R, R) car P = n (X − xk ) ∈ C(R, R) est non nul mais v´rifie e e k=0 B(P, P ) = 0. 1.2. On a imm´diatement e 1 si k = j Lk (xj ) = δk,j = } 0 sinon On en d´duit que e ∀k, i ∈ [|0, n|], B(Lk , Li ) = Li (xk

posteriori la continuité des coordonnées du vecteur position. 4 Chapitre 4 : Cinématique en cordonnées cartésiennes Démonstration On utilise ici les relations de dérivations utilisées en mathématiques, généralisables aux vecteurs, le produit scalaire se comportant comme le produit classique. Comme OM = xi + y j + z k , on a : d OM d x i + y j + z k d x i d y j d z k dx di dy d j dz dk = = + + = i+x + j+ y + k + z dt dt dt dt dt dt dt dt dt dt dt Les trois vecteurs i , j , et k étant constants

. . . . . . . . . . . . . 3 3. Suites num´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 4. G´eom´etrie affine et euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4.1 Barycentre et produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4.2 Produit vectoriel et produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4.3 G´eom´etrie analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 5. Applications de R dans R

spécialité 5 points −−→ −−→ −−→ −−→ 1. a. On a AB (3 ; 2 ; −2), AC (0 ; 2 ; 1), d’où AB · AC = 0 + 4 − 2 = 2. − − → − − → On a AB2 = AB · AB = 9 + 4 + 4 = 17 ; donc AB = 17 ; −−→ −−→ AC2 = AC · AC = 0 + 4 + 1 = 5, donc AC = 5. b. On sait que le produit scalaire peut aussi s’écrire : −−→ −−→ AB · AC = AB × AC × cos BAC, soit : 2 2 = 17 × 5 × cos BAC ⇐⇒ cos BAC = ⇒ BAC ≈ 77 °. 85 c. L’angle BAC n’étant ni nul, ni plat, les points A, B et C ne sont pas alignés. 2. On a : (−2 ; 0 ; 1) vérifie 2x − y + 2z +

l’intervalle [0, n]. 3. On suppose le marché viable. Que dire de ce processus ? Quelle est, pour tout n, ˜ x,α l’espérance conditionnelle, sous une mesure martingale, de Vn à un instant k < n (i.e. sachant Fk ) ? Solution : < ., . > désigne le produit scalaire canonique de Rd . 1. La valeur du portefeuille au matin du premier jour est sa valeur initiale x, et elle au aussi égale à B0 β1 + < α1 , S0 >. Donc β1 est déterminé par x et α1 . Soit n ≥ 1. La valeur du portefeuille au soir du n-ème jour (après