Scalaire

tables). En termes équivalents, pour z1 e et z2 e , Re Hz1 ⋅ z2 L = Re Hz1 L Re Hz2 L − Im Hz1 L Im Hz2 L; Im Hz1 ⋅ z2 L = Re Hz1 L Im Hz2 L + Im Hz1 L Re Hz2 L La multiplication de deux nombres complexes se distingue * du produit scalaire (le produit scalaire de deux vecteurs du plan donne un nombre réel); * du produit vectoriel (le produit vectoriel de deux vecteurs de l'espace donne un vecteur de l'espace). C'est cette multiplication qui fait tout l'intérêt des nombres complexes. H , +

0 1.1.2 Multiplication par un scalaire et addition On peut multiplier un vecteur par un scalaire Soit un scalaire c ∈ R et un vecteur colonne a de Rn , alors     a1 ca1 .  .  c × a = c ×  .  =  . . . . an can Deux vecteurs lignes (ou deux vecteurs colonnes) peuvent s’additionner s’ils sont de mˆme dimension. e       a1 b1 a1 + b1 . .  .  .  +  .  =  . . . . . an bn an + bn En utilisant la multiplication par un scalaire et l’addition, on peut d´finir une combinaison

plan. Les angles e e e a e µ e e e e e µ1 et µ2 su±sent a d¶crire complµtement l'¶tat m¶canique du systµme deux relations. Ensuite, le mouvement s'e®ectue dans un plan, ce qui fournit encore deux relations (par exemple en ¶crivant que le produit scalaire de la position avec la normale au plan est nul). Il e n'y a donc en fait que deux variables ind¶pendantes qui d¶crivent le mouvement. Un choix tout a fait e e µ naturel de coordonn¶es g¶n¶ralis¶es dans ce cas est de prendre les deux angles µ1 et

i.e. on a soustrait la moyenne de chaque variable au préalable. Ceci est fait de façon à faire coïncider le centre de gravité du nuage de points avec l'origine. Les projections des n observations sur le vecteur u1 sont données par: C=Xu1 (produit scalaire) La somme des carrés de ces projections (inertie) est: C'C=u1'X'Xu1 On choisira u1 de façon à maximiser cette dernière quantité. Le problème est donc: Maximiser u1'X'Xu1 sujet à u1'u1=1 Il s'agit d'un problème classique d'optimisation sous contrainte

colonne. DI désigne la matrice diagonale portant sur sa diagonale les totaux en ligne (ou totaux marginaux) et DJ celle des totaux en colonne. Les différentes matrices précédentes sont naturellement liées: F j / i = DI−1 K et Fi / j = KDJ−1 Le produit scalaire de deux vecteurs u et v dans Rp pour la métrique du chi-deux est donné par le produit matriciel: u’. DJ−1 .v , à un facteur multiplicatif près, par suite l’inertie dans la direction du vecteur DJ−1 unitaire u du nuage des profils en ligne, pour la

deux points : AB  b  a Similitude directe : S(( ), k ,  ) : z  z '/ z '   kei ( z   ) ; avec =0 : homothétie, avec k=1 : rotation z    Im( z )  0  arg( z )  0[ ] Inégalité triangulaire : z  z   z  z   z  z  Produit scalaire : p  z. z ' z . z ' z  i  Re( z )  0  arg( z )   [ ] 2 Algèbre : Identités remarquables (valables sur  et donc sur  .)  a  b 2  a  2 ab  b2 ;  a  b  a2  2 ab  b2 2 2  a  b  a  b 3  a3 

où lim ε(t) = 0, donc quand t tend vers 0, on obtient Qa (u) ≤ 0, donc Qa est négative. 1.2.3 Comme Qa est négative, alors ∂2f (a) = (Ha (ei )|ei ) = Qa (ei ) ≤ 0. ∂x2 i Où (e1 , e2 , ..., en ) désigne la base canonique de Rn et (.|.) le produit scalaire canonique. En particulier n ∂2f f (a) = (a) ≤ 0. ∂x2 i i=1 CNM2010IMPC.tex - page 1 t→0 1.3 Applications aux fonctions harmoniques 1.3.1 f est une fonction continue sur la partie compacte K, donc elle bornée et atteint ses bornes. 1.3.2 Supposons

mesure que vous ferez les exercices) le chapitre 1 du livre de D. J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics (Addison-Wesley, 1999). Celui-ci vous aidera grandement dans la résolution des exercices. Exercice 0.1 (a) Montrez que le produit scalaire et le produit vectoriel sont distributifs. ? (b) Le produit vectoriel est-il associatif ? [(A × B) × C = A × (B × C)] Exercice 0.2 Déterminez l’angle entre les diagonales d’un cube. Exercice 0.3 (a) Démontrez la règle « BAC-CAB » : A

que les points A, B et C ne sont pas alignés. 2. Vérifier qu’une équation cartésienne du plan (ABC) est : 2x − y + 2z + 2 = 0. 3. Soient P 1 , et P 2 les plans d’équations respectives x + y − 3z + 3 = 0 et x − 2y + 6z = 0. (a) Calculer le produit scalaire AB · AC puis les longueurs AB et AC. #» #» #» #» #» 4. Démontrer que la droite D et le plan (ABC) sont sécants et déterminer les coordonnées de leur point d’intersection. 5. Soit S la sphère de centre Ω(1 ; −3 ; 1) et de rayon r = 3. (a)

mot de poids minimum dans la classe de r modulo C et on r´ecup`ere bien le mot de code ´emis. Remarque 3. La matrice de contrˆ ole peut ˆetre vue comme la matrice g´en´eratrice du code dual C ⊥ = {y ∈ Fn2 , ∀c ∈ C, y.c = 0} o` u . est le produit scalaire usuel. Proposition 2.1. Soit H une matrice de contrˆ ole du code C. La distance minimum d de C est caract´eris´ee par les propri´et´es suivantes : – d − 1 colonnes de H sont toujours lin´eairement ind´ependantes. – Il y a un syst`eme de d colonnes