Scalaire

alors : Dans l'espace, si le vecteur a pour coordonnées Si les points et alors : , sa norme s'écrit : ont pour coordonnées respectives 2 et 2 dist(AB)=AB=||AB||=(Xb-Xa) +(Yb-Ya) +(Zb-Za) 2 1.2 PRODUITS SCALAIRES Le produit scalaire des vecteurs u (x ; y ) et v (x ; y ) est u.v=(x ; y ).(x ; y )= x . X 1 + y1. y2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 Propriétés : Quels que soient les vecteurs u, v et w et le réel r, on a : • u.v=v.u (commutativité)

sur celle-ci, soient maximales Le module OMi étant constant, minimiser HiMi consiste à maximiser OHi .ou bien ∑ OH i2 maximal au sens des moindres i carrés. r r r OM i = OH i + H i M i (OMi)2 = (OHi )2 + (HiMi)2 O Soit u , vecteur unitaire r r scalaires OM i u .  a11 a12  .  . Exemple : X =  a i1 a i 2   a n1 a n 2 u Mi ou Hi (F1) porté par F1, le produit matriciel Xu, représente les produits a13   .  a i3   a n3  et r r La ligne i du produit matriciel Xu sera égale à αa i1

lien soit accessible librement et gratuitement. Vous ne pouvez pas télécharger les fichiers de mon site pour les installer sur le vôtre. SERIES DE FOURIER PLAN Préambule historique I : Espace préhilbertion des fonctions 2π-périodiques 1) Produit scalaire, norme 2) Famille orthonormale 3) Coefficients de Fourier II : Développement en série de Fourier 1) Convergence en moyenne quadratique 2) Convergence normale 3) Convergence simple et uniforme 4) Cas des fonctions T–périodiques Annexe I : Quelques

DEVOIR SURVEILLÉ N° 7 Statistiques et produit scalaire Le 5 février 2010 Durée du devoir surveillé : 110 minutes L’usage de la calculatrice est autorisé. Exercice 1 (4 points) Le tableau suivant donne le montant des salaires annuels exprimés en milliers d’euros d’une petite entreprise. Salaires 16 18 20 25 30 40 Nombre de salariés 6 9 10 8 5 2 1) Déterminer la médiane, les premier et troisième quartiles. Interpréter ces résultats et les traduire

qu’un polynôme P(X) appartient au noyau de f si et seulement s’il existe un polynôme S(X) de degré inférieur ou égal à n-d tel que P(X) = S(X)P0(X). 31 On suppose dans cette question que T(X) = X 3+X 2–1. Donner le noyau de f. V Etude d’un produit scalaire. Dans cette partie on prendra T(X) = X 2 et on considérera g = f2 la restriction de f à 2[X]. 32 Montrer que g est bien un endomorphisme de l’espace vectoriel réel (2[X], +, .). Donner sa matrice A sur la base canonique de 2[X]. 33 Soit < . ,

tétraèdre). (Médiane du tétraèdre : droite passant par un sommet et le centre de gravité de la face opposée.) 1 2. Produit scalaire du plan et conséquences. 2.1. Rappel sur le produit scalaire dans le plan. ! " ! !" " ! ! " ! " ! " Définition propriété : u et v sont deux vecteurs de P . v ' est le projeté orthogonal de v sur u . ! " ! " On appelle produit scalaire des vecteurs u et v le nombre réel égal. ! " !" ! ! " !" ! # u ! v ' si u et v ' sont de même sens % ! " !" ! ! " !" ! 1. $ %"

vérifient l'équation... Ensuite, comme nous travaillons dans un repère orthonormé alors un vecteur normal du a    plan P d'équation a.x + b.y + c.z + d = 0 est n  b  . c   3. La dernière phase : un produit scalaire de deux manières Le produit scalaire n.AH peut se calculer de deux manières : Avec les coordonnées car nous évoluons dans un repère orthonormé :  a   xH − xA     n.AH =  b  .  yH − y A  = a × ( x H − x A ) + b × ( y H − yA ) + c × ( z H − z A ) c

Part I MA205: ‡ux, circulation... 0.1 Divergence, rotationnel... ! Exercice 1 Montrer que on a toujours:f étant un champ scalaire et V un champ vectoriel: ! ! div((Rot V ) = 0 ! ! ! Rot(Gradf ) = 0 ! div(Gradf ) = f= @2f @2f @2f + 2 + 2 2 @x @y @z ! Exercice 2 Soit le champ de vecteurs V (M ) = (x2 + y 2 ! ! ! ! ! (x2 z) k : calculer divV; (Rot V ; div(Rot V ) Exercice 3 Soit f : R3 ! R dé…nie par f (x) = x2 ! z) i + (2xy ! yz) j + x : + y2 + z2 ! ! ! calculer Gradf; Rot(Gradf) ; 0.2

dans un triangle quelconque Savoir utiliser les formules d’addition : sin( a + b) et de duplication : cos(2a ) , sin( 2a ) . (Calculs de distances, d’angles…) Vecteurs du plan Calculer le produit scalaire de 2 vecteurs Exploiter les résultats d’un produit scalaire Utiliser les propriétés du produit scalaire. TOTAL ANNUEL Exemple de programme de mathématiques − 2nde professionnelle (Bac Pro 3 ans expérimental) – SEN 3 semaines 2 semaines 3 semaines 2 semaines 26 semaines BACCALAURÉATS

Exercices supplémentaires : Produit scalaire dans l’espace Dans tous les exercices, sauf quand cela est précisé, on considère un repère orthonormal de l’espace ; ; ; Partie A : Repère et vecteurs coplanaires Exercice 1 1 On considère la droite passant par 2; 1; 1 et de vecteur directeur 1 . 1 Pour chacun des points suivants, précisez s’ils appartiennent à : 3; 0; 0 ; 5; 2; 1 ; ; ; ; 2 √2; 1 √2; √3 1 Exercice 2 On considère les points 2; 3; 2 et 5; 1; 0 . . Exercice 3 Les points 1; 1; 0 , Exercice