Relation de Chasles

. . . . . . . . . 9.2.1 Lien avec les primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.2 Lien avec les suites de limite la borne impropre . . . . . . . . . 9.2.3 Lien avec les séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.4 Chasles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.5 Linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.6 Positivité et inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.7 Intégration par parties . . . .

des entiers relatifs. Q : l’ensemble des nombres rationnels. 1 Introduction R : l’ensemble des nombres réels. R+ : l’ensemble des nombres réels positifs ou nuls. On définit de même R∗ , R+∗ , R− . . . A, B, E étant des ensembles, on définit : Relation d’inclusion. On note A ⊂ E (lire « A est inclus dans E », ou « A est une partie de E », ou « A est un sous-ensemble de E ») si et seulement si tout élément de A est élément de E. On note aussi E ⊃ A (« E contient A »). • Pour tout ensemble E, on

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TrigoFACILE — http://www.trigofacile.com/ 2 A A.1 Structures fondamentales Éléments de théorie des ensembles Notions – Les tables de vérité de ¬, ∧, ∨, ⇒ et ⇔ ; la relation (A ⇒ B) ⇔ (¬A ∨ B). – L’inclusion, la complémentarité, les parties d’un ensemble, l’intersection et la réunion, avec leurs propriétés élémentaires (comme les lois de de Morgan). – La différence entre une application (E = Df ) et une fonction (E ⊂

publication massive de traductions des contes d’Hoffmann et la mode qui en découle, détournent Balzac d'un genre qu’il estime galvaudé94. Dans un article paru dans la Caricature le 16 février 1832, il sait gré aux auteurs des Contes bruns, (Philarète Chasles et Charles Rabou), de n’avoir pas utilisé le mot « fantastique » : « programme malsain d’un genre qu’on a déjà trop usé par l’abus du nom seulement ». Balzac invente un fantastique nouveau, non pas comme genre littéraire, mais comme l’apparition de

partielle x e! (t; s; x e) véri…e les propriétés suivantes: Si f est de classe C k (k 2 N [ f+1g) sur U; ; alors Si f est analytique sur U; ; alors est aussi de classe C k ; est aussi analytique sur O. 18 t s t t t s s r = t r; (relation de Chasles) = IU t où IU t est l’application identité de l’ouvert U t = fe x 2 Rn : (t; x e) 2 Ug est C1 di¤éomorphisme et ( ts ) 1 = Il su¢ t de connaître la fonction (t; s) ! C.I. quelconque x e en s. s t: s t pour avoir la solution maximale t

em ) pour un certain m ≤ n. On va prouver que cette dernière suite est une base. Comme elle est génératrice, il sut de prouver que cette suite est libre. Supposons avoir une relation de dépendance linéaire e1 α1 + . . . + em αm = 0 avec α1 , . . . , αm non tous nuls. Supposons par exemple αm = 0. En divisant la relation précédente par αm et en isolant em , on obtient alors −1 −1 em = e1 (−α1 αm ) + . . . + em−1 (−αm−1 αm ) C'est une contradiction, puisque, par construction, aucun des vecteurs

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . o e Pb 6 : Astro¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ıde. Pb 7 : Famille de courbes param´tr´es en polaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e Pb 8 : Relations entre coefficients et racines, ´l´ments simples. . . . . . . . . . . . . . ee Pb 9 : Suite d´finie par r´currence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e Pb 10 : Polynˆmes et suites. Limite de la suite des 1/k2 . . . . . . .

en pratique: cela permet souvent de trouver une faute de calcul. Notons enfin une propri´t´ importante et naturelle, la relation de Chasles: ee 7 Proposition 8. Si a < b < c, on a b a f (t) dt + c b f (t) dt = c a f (t) dt 3.2. Int´gration et d´rivation: le th´or`me fondamental de l’analyse. e e e e Il est tout ` fait remarquable qu’il existe une relation entre l’int´gration et la d´rivation, deux objets a e e math´matiques d´finis a priori sans aucun lien. e e Soit f une fonction

disparu ? Pour résoudre ce problème, le mathématicien italien Fibonacci (dit aussi Léonard de Pise) introduit dès 1202 la notion de suite. Ainsi, si on note un le nombre de couples de lapins au cours du mois (avec u1 = 1), la suite (un) vérifie la relation de récurrence un+2 = un+1 + un. On peut alors exprimer un en fonction de n et prévoir le nombre de lapins au bout de quelques mois. U Quand utiliser un raisonnement par récurrence et comment le rédiger ? On peut utiliser un raisonnement par récurrence

yA) du vecteur n!" Somme de deux vecteurs. v Calculer les coordonnées de la somme de deux vecteurs dans un repère. v Utiliser la notation Q au. v Établir la colinéarité de deux vecteurs. Produit d’un vecteur par un nombre réel. Relation de Chasles. v Construire géométriquement la somme de deux vecteurs. v Caractériser alignement et parallélisme par la colinéarité de vecteurs. Corrigés des QCM pour bien commencer 1 à 10 Ces exercices sont corrigés dans le manuel de l’élève