Quadrilatère inscriptible

et sont alignés dans cet ordre si et seulement si alors on a bien , et . g) Faux : si est le milieu du segment h) Faux : on sait seulement que le quadrilatère est inscrit dans un cercle de : diamètre Vraie : c’est un losange. Faux : un losange n’est pas forcément un carré. Vraie : un carré est un losange particulier. Vraie : un losange est un quadrilatère dont les côtés ont même longueur. Faux : par exemple l’équation n’a pas de solution. Vraie : l’équation admet pour solutions , , et (environ). admet

forme circulaire. Ce problème, d'apparence anodin, fait appel à des théories sophistiquées pour obtenir une démonstration rigoureuse. On simplifie parfois le problème isopérimétrique en limitant les surfaces autorisées. Par exemple on cherche le quadrilatère ou le triangle d'aire la plus vaste possible, toujours pour un périmètre donné. Les solutions respectives sont le carré et le triangle équilatéral. De manière générale, le polygone à n sommets ayant la plus grande surface, à périmètre donné, est

(P’))= . On en déduit : d(A ; (P))= 6 3 Notons H et H’ les projetés orthogonaux de A sur (P) et sur (P’). Comme les deux plans (P) et (P’) sont orthogonaux, le projeté orthogonal de H sur (P’) est cofondu avec le projeté orthogonal de H’ sur (P). Le quadrilatère AHDH’ est donc un rectangle. Soit δ la distance entre A et (d). δ est la longueur de la diagonale de ce rectangle. On applique le théorème de Pythagore : δ2 = 2 2 2 2 2 4 + = + = 2. D’où δ = 2. 3 3 6 3 E XERCICE 2 3 points 1. Restitution organisée

aucun cas il ne constitue un modèle. EXERCICE 3 : / 2,5 points Difficulté : Dans un repère orthonormé du plan, on considère les points A(-1; 3), B(2; 1), C(1 ; 0) et D(-2 ; 2). 1. Faire une figure en prenant comme unité graphique 1 cm. 2. Le quadrilatère ABCD est-il un parallélogramme ? EXERCICE 4 : / 4 points Difficulté : Dans un repère du plan, on considère les points M(–1; 4), N(–3 ; 3) et P(2 ; 2). 1. Calculer les coordonnées du vecteur 2   . MN MP 2. En déduire les coordonnées ( x D ; y

résoudre le système et par suite y = 2 c- on considère les points en K. et N(6 ; 0). Démontrons que KMN est rectangle 7pts 0,5pt 1pt 1pt 0,5pt 1pt 0,25pt 0,25pt On a : On a bien MN² = KN² + KM² donc KMN est rectangle en K 4. a- le quadrilatère MNM’N’ est un losange car ses diagonales se coupent en leurs milieux et sont perpendiculaires. b- calculons l’aire B du losange MNM’N’ B = 4( ) = 2NK x MK = 2 x x = cm² 0,25pt 0,25pt 1pt 1pt 3 (D’) (D) 5 N’ R M’

Propriétés Carré : 1. Si un quadrilatère a quatre côtés de même longueur et un angle droit alors c'est un carré. 2. Si un quadrilatère est un carré alors il a quatre côtés de même longueur, quatre angles droits et ses côtés opposés sont parallèles deux à deux. 3. Si un quadrilatère a ses diagonales de même milieu, de même longueur et perpendiculaires alors c'est un carré. 4. Si un quadrilatère est un carré alors ses diagonales ont le même milieu, sont perpendiculaires et sont de même longueur

Bonjours, pouvez-vous m'aider a faire cet exercice: Sur la figure ci-dessous, les points A,B,C,D,E,F,G sont les coordonnées entières. 1-a) Lisez les coordonnées de ces points sur la figure. b) Démontrez que les quadrilatères ABCD et AEFG sont des carrés. 2-a) Calculez les coordonnées des centres O(1) et O(2) de ces carrés. b) Déduisez-en la nature du triangle OO(1)O(2). J'ai trouvez ceci: 1-a) Les coordonnées de ces points sur la figure sont: A(0;3)   B(5;0)   C(8;4)   D(3;7)   E(-1;0)  

® ® 1. Construire le point M tel que IM = IA + ID et le point N tel que IN = IB + IC . ® ® ® 2. Démontrer que IM + IN = 0 . Que peut-on en déduire ? ® ® ® ® 3. Justifier les deux égalités suivantes : BN = IC et IC = AI . En déduire la nature du quadrilatère ABNI. Exercice 12 Soit ABC un triangle. ® 1® 1. Placer le point E tel que AE = AB . 3 ® ® 2. Placer le point F tel que AF = 3 AC . 3. Démontrer que les droites (CE) et (FB) sont parallèles. Exercice 13 Soit PQR un triangle de centre de gravité

points) Dans les triangles OAB et OCD, les points A, O, C et B, O, D sont alignés dans le même ordre. ))= ))= ))= )) et ))= )) Donc ))= )) D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AB) et (CD) sont parallèles. Alors le quadrilatère ABCD est un trapèze. Exercice n°5 : (2,5 points) Dans le triangle OCE, les points O, A,C et O, D, E sont alignés dans le même ordre. ))= ))= )) et ))= ))= )) Donc )) )) Alors les droites (DA) et (EC) ne sont pas parallèles. Exercice

et on sait que l’image du cercle de rayon 2 de centre A est le cercle de centre B et de même rayon 2 ,c’est-à-dire ’. z +z 1 + i ( 3+2) b) zI = A B = 2 2 c) C , donc AC = 2 et C ’ donc BC = 2 ; or on sait depuis le 1)c) que OA = 2 = OB, donc le quadrilatère OABC est un losange. d) Les diagonales du losange OABC se coupent en leur milieu donc I, milieu de [AB] est aussi le milieu de [OC]. z +z zC 1 + i( 3 + 2) Ainsi O C = zI = zC = 1 + i( 3 + 2). 2 2 2 a) AD = zD –zA = 2i 3 – 1 – i 3 = –1 + i 3 = 2