Quadrilatère inscriptible

LES QUADRILATERES Les quadrilatères remarquables sont le parallélogramme, le losange, le rectangle, le carré. Dans la présentation qui suit, vous trouverez pour chacun d’eux une liste de ses propriétés caractéristiques. Ainsi, pour démontrer qu'un quadrilatère ABCD est l'un des quatre, il suffit de prouver qu'il possède une seule de ces propriétés. Exemple: Pour démontrer qu'un quadrilatère est un rectangle, il suffit de prouver que c'est un parallélogramme qui a un angle droit. Parallélogramme

rapport à O. Tracer le quadrilatère BEDF en rouge. 1. Montrer que O es le milieu de [BD]. 2. Montrer que DEBF est un parallélogramme. 3. En déduire que FD= 2cm. Voici mes réponses : 1. On sait que [EB] est parallèle a [DF]. Or si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses diagonales ont le même milieu. Donc O est le milieu de [BD]. 2. On sait que DEBF est un quadrilatère. Or si les diagonales d'un quadrilatère ont le même milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme

obtient la figure ci-contre, sur laquelle A, M, B ; B, N, C ; C, O, D et D, P, A sont alignés. a, b et c désignent les longueurs des côtés des triangles rectangles. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifie. PMN Démontre que l'angle  est un angle droit. Déduis-en la nature du quadrilatère MNOP. B b a a N c c P a c b a D b c b O C Exprime l'aire de MNOP en fonction de c. On dispose, à présent, les quatre triangles rectangles comme

u . (6 points) Exercice 3   Dans un repère (O ; i , j ), on considère les points A(10 ; 40), B(50 ; 45), C(55 ; 46), D(–  25 ; 36) et E( –  10 ; a) (où a est un réel). a. Les points A, B et C sont-ils alignés ? Justifier. b. Le quadrilatère ABCD est-il un trapèze ? c. Déterminer les coordonnées du point E pour que ABCE soit un trapèze. (4 points) Exercice 4 Exercice 5 a) Résoudre l’inéquation b) Résoudre l’équation (x – 4)(x2 – 4x + 3) ≥ 0 4 3   1 x

construit une terrasse rectangulaire qu’il désire recouvrir d’un toit. Pour cela, il réalise le croquis suivant où l’unité de longueur est le mètre. G H – Le sol ABCD et le toit EFGH sont des rectangles. – Le triangle HIE est rectangle en I. – Le quadrilatère IEAB est un rectangle. – La hauteur du sol au sommet du toit est HB. On donne : AB = 2,25 ; AD = 7,5 ; HB = 5 I E F C D H Partie 1 5 B 7, 5 2, 25 A On suppose dans cette partie que AE = 2 1. Justifier que HI =

L’aire du carré coloré :            b)  Les longueurs des côtés d’un rectangle d’aire donnée.   Les quadrilatères suivants ont 6 cm2 comme aire. Détermine la longueur de leurs côtés.      4  1      3      2  5    35     Quadrilatère n° 1 : L : 6 ; l : 1  Quadrilatère n° 2 : L : 2 ; l : 3  Quadrilatère n° 3 : c =     ; l :     ; l :  Quadrilatère n° 5 : L :  • Entrainement      Quadrilatère n° 4 : L :    2.6.4      • Entrainement  Calcule  la valeur des expressions suivantes et conclus 

capacités – Résolution détaillée Exercice 100 1. Méthode 2. On commence par calculer les coordonnées des vecteurs et : donc donc . . On constate que les vecteurs et ont les mêmes coordonnées. Ces vecteurs sont donc égaux. On en déduit que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme. On utilise la méthode décrite dans l’exercice résolu 4, page 319 Conseil • Attention à l’ordre des points. ABCD parallélogramme alors = • On peut vérifier graphiquement les coordonnées des vecteurs ainsi que le fait

Savoir utiliser cette formule, notamment pour : - Donner une distance ou une longueur en valeur exacte . - Etudier la nature d’un triangle ou d’un quadrilatère ; - Etudier l’appartenance d’un point à un cercle . (fiche méthode p358) - Etudier l’appartenance d’un point à une médiatrice - Calculer des périmètres et des aires. CONFIGURATIONS PLANES QUADRILATERES p358/359 connaître les définitions et les propriétés vues au collège, pour trapèze, parallélogramme, rectangle , losange , carré Savoir utiliser

que d’après le théorème des milieux qui dit que Dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés alors cette droite est parallèle au troisième côté. Exemple: IJ//AC et LK//AC donc IJ//LK IL//DB ET JK//DB donc IL//JK Le quadrilatère IJKL a donc ses côtés opposés deux À deux parallèles donc IJKL est un parallélogramme b) Si ABCD est un rectangle alors IJKL est un losange. Car AC=BD puisque I est le milieu de [AB] et J le milieu de [BC], en appliquant le théorème de Thalès

et I sur (AB) ainsi que G et H les projections orthogonales de I et J sur (CD). Le rectangle EFGH a même aire que le trapèze ABCD car les triangles rectangles IGC et IFB sont isométriques, de même que les triangles JHD et JEA. Comme pour tout quadrilatère convexe, l'aire se calcule avec GéoPlan en le partageant, par une diagonale, en deux triangles. 2. Aire du triangle L'aire d'un triangle a pour mesure le demi produit d'un côté par la hauteur perpendiculaire à ce côté. Le rectangle BCED a