Projection orthogonale

optique, sont orthogonaux à l’axe (Figure 1). 1. Généralités. a. L’image A ' B ' est-elle réelle ou virtuelle ? b. Donner les relations de conjugaison de Descartes avec origine au centre pour la lentille LC . c. Recopier approximativement la figure 1 et construire l’image A ' B ' de AB en sachant qu’elle se forme sur l’écran. En déduire graphiquement la position des foyers objet et image de la lentille LC . 2. On cherche les positions de la lentille L qui permettent de réaliser cette projection : a. On

graphique d’un produit * Projection orthogonale et cotation dimensionnelle : * Représentation en coupe * Représentation des filetages | Etudier fonctionnellement un système techniqueIdentifier les différentes parties d’un système technique et leurs composantsS’approprier les règles de représentation normalisée à l’aide d’un système de point de vue systèmeDécrire le fonctionnement d’un système à l’aide d’un GRAFCET de point de vue systèmeReprésenter une pièce en projection orthogonaleReprésenter

A et B ont des coordonnées entières. Montrer qu’il en est de même de C et D. 5. * On appelle () le cercle trigonométrique. ABC est un triangle équilatéral inscrit dans ().  est une droite passant par O. On désigne par H, K et L les projections orthogonales respectives de A, B et C sur . Montrer que . 6. * Soit ABC un triangle équilatéral direct du plan. On note R1, R2 et R3 les rotations de centres A, B et C et d’angle . Exprimer R3 o R2 o R1. 7. * Le plan est rapporté à un repère

le sousespace vectoriel de E d’équation cartésienne x1 + · · · + xn = 0. On note u le vecteur défini par u = e1 + · · · + en . 1) Montrer que E = H ⊕ D. 2) Soit x dans E. Donner la décomposition de x dans H ⊕ D. 3) Donner la projection p sur H parallèlement à D et la projection q sur D parallèlement à H . 1.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation 1) Soit w l’application linéaire de E vers R qui à x = x 1 e1 + · · · + xn en associe le réel x1 + · · · + xn . Le sous-espace vectoriel H

euros et une heure de location du matériel coûte 30 euros. Les contraintes matérielles imposent que 0⩽x⩽120 et 0⩽y⩽100. La figure 1 donnée en annexe représente la surface S d'équation z=f⁡xy. La figure 2 donnée en annexe représente la projection orthogonale de la surface S sur le plan xOy, les courbes de niveau de cette surface étant représentées pour z variant de 10 en 10. 1. 1. Les points A2040zA et B60yB60 sont des points de la surface S. Déterminer

soient or- thogonaux. Solution : Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. 8 Soient A, B et C trois points du plan. Existe-t-il H tel que | −−→ AB · −−→ AC | = AH ×AC ? Solution : Oui, H est le projeté orthogonal de B sur (AC). B.2 Faire ses gammes 9 Dans chacun des cas, l’unité de longueur est le côté d’un carreau. Calculer −−→ AB · −−→ AC . 1 2 3 A C BH A C BH A C H B Solution : 1. On note H le projeté orthogonal de C sur (AB). −−→ AB · −−→ AC = AB×AH × cos (−−→

arg ( z ) = - arg z [2π] ; arg (- z) = arg z + π [2π] • arg(zz') = arg z + arg z' [2π] • → → AB et AC sont colinéaires zC - zA ⇔ ∈ IR* zB - zA → → AC = α AB , α ∈ IR* z zA  ⇔ arg  C  = 0 [π]  zB - zA  ⇔ → → → → AB et AC sont orthogonaux ⇔ AB . AC = 0 zC - zA ⇔ est imaginaire pur non nul ⇔ zB - zA z - zA  π arg  C  = [π]  zB - zA  2 L'application qui au point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' = z + a → où a est un nombre complexe fixé, est la translation de vecteur

xi et, sur la q-i` me colonne de M , les yi . Le e e n terme g´ n´ ral bpq de T M .M est donc e e n i=1 xi yi , qui est donc nul si p = q, puisque V1 , V2, . . . , Vn sont deux a deux orthogonaux. ` Par contre, bpp = i=1 |xi|2 = ||Vp ||2. 2 Si V1 , V2, . . . , Vn sont deux a deux orthogonaux, B = T M .M est diagonale, de termes diagonaux ||V1||2, . . ., ||Vn||2. ` 2 2 On a : det B = det T M . det M = det M . det M = | det M |2 et aussi : det B = ||V1||2. · · · .||Vn||2. 2 2 | det

3 (2)- INFOS tore ! Théorème de Guldin Mathématicien suisse (1577-1643) Le théorème de Guldin permet de calculer le volume engendré par un objet plan d'aire A en révolution autour d'un axe ∆ situé dans le même plan. Soit H, la projection orthogonale du point G, barycentre de l'aire A, sur ∆, alors : V = 2 " A . GH exemple : V = 2"l.R.r ! 2 On peut vérifier ce résultat facilement puisqu'il s'agit de la soustraction d'un volume d'un cylindre à un autre. ! calotte

orientées x’x et y’y qui se coupent au point O. Le point O est appelé l’origine du repère. y x’ O x y’ Sur chaque droite orientée, on peut placer des vecteurs unitaires (notés i et j ) qui indiquent l’unité choisie. On parle de repère orthogonal lorsque : - les axes sont perpendiculaires ; - les unités sur les axes peuvent être différentes. On parle de repère orthonormé lorsque : - les axes sont perpendiculaires ; - les unités sur les axes sont les mêmes. y y j x’ O