Projection orthogonale

La perpendiculaire à (D) : ax + by + c = 0, passant par un point M(xo,yo) a alors pour équation : b(x - xo) - a(y - yo) = 0. Le qualificatif orthogonal peut être considéré comme synonyme de perpendiculaire mais il est en principe réservé aux directions, aux vecteurs en particulier, du plan ou de l'espace. Deux droites de l'espace sont dites orthogonales si leurs directions le sont. Et si ces droites sont sécantes, on dira qu'elles sont perpendiculaires. Équation normale d'une droite :

Une illustration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 La multicolinéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Compléments mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1 Représentation géométrique . . . . . . . . . . . 1.6.2 Projection et qualité de l’estimation . . . . . . . 5 5 7 7 8 9 9 10 11 14 16 16 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Estimation des paramètres et tests

r´gression permet la d´composition du vecteur y e e y = y∗ + e, o` u y∗ = a1n + bx. On a donc les relations suivantes – y∗ et e sont orthogonaux, i.e. < y∗ , e >= 0. – x et e sont orthogonaux, i.e. < x, e >= 0. – 1n et e sont orthogonaux, i.e. < 1n , e >= 0. La r´gression d´compose le vecteur y en deux vecteurs orthogonaux y∗ et e. Le vecteur e est par ailleurs e e orthogonal au vecteur contenant la variable explicative et au vecteur 1n . 1.1.7 Sommes de carr´s et variances e n ∑ i=1 D´finition 1.1 On

0 si f(x) contient une racine d’indice pair : radicant ≥ 0 Graphiquement : le domaine de déf d’une fonction f(x) se lit en effectuant une projection orthogonal du graphe de f(x) sur l’axe des x. 6. Limite de fonction A. Définitions : Limite en un réel : Lim x→a f(x) =b, quand x prend des valeurs se rapprochant de a alors les images se rapproche de b Limite en l’∞ : Lim

premi`re ann´e, le programme d’alg`bre et g´om´trie combine l’´tude de l’alg`bre lin´aire (espaces vectoriels, e e e e e e e e applications lin´aires, alg`bres, dimension, rang, calcul matriciel, espaces vectoriels euclidiens, automorphismes e e orthogonaux) et de ses interventions en alg`bre, en analyse et en g´om´trie affine et euclidienne ; il comporte e e e en outre l’´tude de l’arithm´tique ´l´mentaire et des polynˆmes ` une ind´termin´e. e e ee o a e e En seconde ann´e, le programme d´veloppe de

exprimées en heures. Une heure de travail coûte 15 euros et une heure de location du matériel coûte 30 euros. Les contraintes matérielles imposent que et . La figure 1 donnée au verso représente la surface d'équation . La figure 2 représente la projection orthogonale de la surface sur le plan , les courbes de niveau de cette surface étant représentées pour variant de 10 en 10. 1. a. Les points et sont des points de la surface . Déterminer pour chacun la coordonnée manquante. b. Lire sur la figure 1 les

3 (2)- INFOS tore ! Théorème de Guldin Mathématicien suisse (1577-1643) Le théorème de Guldin permet de calculer le volume engendré par un objet plan d'aire A en révolution autour d'un axe ∆ situé dans le même plan. Soit H, la projection orthogonale du point G, barycentre de l'aire A, sur ∆, alors : V = 2 " A . GH exemple : V = 2"l.R.r ! 2 On peut vérifier ce résultat facilement puisqu'il s'agit de la soustraction d'un volume d'un cylindre à un autre. ! calotte

sommet supérieur. Axe 6 qui passe par 2 sommets opposés. (Selon le vecteur c) 3 Axes 2 qui passent par 2 sommets opposés. (Selon les vecteurs a et b) 3 Axes 2 qui passent par le milieu de 2 arêtes opposées. (Selon les vecteurs 2a + b) 1 plan σh orthogonal à l’axe 6 6 plans σ bissecteurs d’axes 2 On a donc un groupe ponctuel : 6/m 2/m 2/m (ou D6h en notation de Schönflies) On a un axe 6 principal donc il s’agit d’un système hexagonal. Indexation des faces : (0 1 1) ou (1 0 1) * Cristal

Applications linéaires particulières 1re année 62 63 64 65 Orthogonalité 2e année 199 54 55 56 57 Écritures matricielles 1re année Espaces vectoriels euclidiens 2e année 203 Calcul matriciel 1re année Endomorphismes orthogonaux 2e année 204 Changements de bases 178 1re année Systèmes linéaires 1re année 181 Endomorphismes symétriques 2e année 208 VII Partie 5 – Géométrie 66 67 68 69 70 71 72 73 Espaces affines 1re année 212 214 74

mvt 4/0 ∆V ( D ∈ 4 / 0) V ( D ∈ 4 / 0) I54 I 50 I 40 Mécanisme d’essuie glace Bosch V ( A∈ 3 / 0) 9- Déterminer graphiquement V ( D∈ 5/ 0) V ( D ∈ 4/ 0) = V ( D ∈ 4/ 5) + V ( D ∈ 5/ 0) V(D∈4/5) est orthogonale à (I45D). V ( D∈5/ 0) ∆V ( D ∈ 4 / 5) ∆V ( D ∈ 5 / 0) est orthogonale à (I50D)=(ND) V ( D ∈ 5 / 0) V ( D∈5/ 0) est représentée par un vecteur de 3.6 cm donc V ( D ∈5/ 0) = 0.18 m / s V ( D ∈ 4 / 0) I54 I 50 V ( D ∈ 4 / 5) Mécanisme d’essuie glace Bosch Mécanisme d’essuie