GÉOMÉTRIE ET NOMBRES COMPLEXES
1. * Soit t un réel. z1 et z2 sont les racines complexes de l’équation z2 + tz + 1 = 0. Quel est le lieu des images de z1 et z2 lorsque t décrit  ?

2. * Soit z un nombre complexe distinct de –1, 0 et 1. Les points A, A’, M, M’ et P ont respectivement pour affixe 1, –1, z, 1z et .
Démontrer que la droite (MM’) est bissectrice de l’angle .

3. * Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que les points d’affixe j, z et jz soient alignés.

4. * Soit ABCD un carré du plan affine euclidien. On suppose que A et B ont des coordonnées entières. Montrer qu’il en est de même de C et D.

5. * On appelle () le cercle trigonométrique. ABC est un triangle équilatéral inscrit dans ().  est une droite passant par O. On désigne par H, K et L les projections orthogonales respectives de A, B et C sur .
Montrer que .

6. * Soit ABC un triangle équilatéral direct du plan. On note R1, R2 et R3 les rotations de centres A, B et C et d’angle . Exprimer R3 o R2 o R1.

7. * Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct. On considère trois points A, B et C d’affixes respectives a, b et c. On note j le nombre complexe de module 1 et d’argument 2/3.
1) Soit R la rotation de centre C et d’angle /3. Montrer que si M est un point d’affixe z, R(M) a pour affixe –j2z – jc.
2) En déduire que, pour qu’un triangle de sommets A(a), B(b) et C(c) soit équilatéral, il faut et il suffit que a + bj + cj2 = 0 ou a + bj2 + cj = 0.
3) Déterminer z pour que le triangle de sommets d’affixe i, z et iz soit équilatéral.

8. * Montrer qu’il n’est pas possible que les trois sommets d’un triangle équilatéral, non réduit à un point, aient des coordonnées entières.

9. * ABC et DEF sont deux triangles équilatéraux directs. On considère les points G et H tels que EDBG et CDFH soit des parallélogrammes.
Démontrer que le triangle AGH est équilatéral