Produit de Cauchy

existe au moins un ... tel que » | | | | | Logique | | | Autres branches[modifier] Symbole (TeX) | Symbole (utf8) | Nom | Signification | Exemples | | | Prononciation | | | | | Branche | | | |  ! | Factorielle | n! est le produit : 1 × 2 × ... × n. | 6! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 = 720 | | | Factorielle (de) n. | | | | | Combinatoire | | | | ~ | Relation d'équivalence | | | | | « ... est équivalent à ... » | | | | | Théorie des ensembles | | |

admette une infinit´. e (2) En citant avec pr´cision le th´or`me de Cauchy adapt´ ` l’´quation diff´rentielle du probl`me (P), e e e e a e e e montrer que ker D est un sous-espace vectoriel de E de dimension deux et que D est surjective. Dans toute la suite du probl`me, on suppose que la e fonction q est positive ou nulle sur [a, b] Deuxi`me Partie e On se propose de d´montrer que P admet une et une seule solution. e On munit E du produit scalaire , tel que pour tout (y, z) ∈ E × E, b y, z = a

symbole = pour dire "égal par définition". – Nous utiliserons (x1 , x2 , x3 ) pour repérer les variables de l’espace cartésien. – Nous utiliserons aussi la convention de sommation d’Einstein : quand le même indice est ∂vj ∂vj ∧ = v1 · + répété dans un produit, cela signifie que l’on somme tous les indices : vi · ∂xi ∂x1 ∂vj ∂vj v2 · + v3 · . Notez qu’ici on ne somme que sur l’indice i, car l’indice j n’est pas répété ∂x2 ∂x3 et vaut 1, 2 ou 3. C’est une convention dont le seul avantage est de simplifier

et que GEA. c;A = o 3. Soit maintenant BeA c E. Vérifier que la topologie (TA)B induite par TA sur B n'est autre que la topologie TB induite par T sur B. 4. On suppose que E d'intervalles on le munit de la topologie usuelle des produits ouverts. Que peut-on dire sur les sous-ensembles = IR2, A = {(x, y) E E, x2 - y2 < 2}, B = {(x, y) E A, I ::; (x + y)(x - y)}. Exercice 1 - Vérifier si oui ou non (Z, 0) où 0 = {0, {l, 2}, {l, 2, 3}, {-4}, {l, 2, 3, -4}, Z} est un

= 0 ∈ R correspond un ´l´ment x−1 ∈ R tel que ee xx−1 = 1. L’associativit´ (axiome A5) et la commutativit´ (axiome A6) de la e e multiplication font que l’on peut ´crire sans ´quivoque le produit de trois e e nombres x, y et z sous la forme xyz et permettent l’utilisation de la notation Π pour d´signer un produit comportant n termes : e n ak = a1 a2 · · · an . k=1 L’´l´ment neutre pour la multiplication (axiome A7) est unique car si 1 ee avait la mˆme propri´t´ que 1, on aurait e ee 1 = 1

. . . . . 5.5 Consistance des sch´mas num´riques, convergence . . . . . . . e e 3 37 37 38 38 39 40 41 42 42 44 45 47 47 48 48 49 50 50 51 51 51 52 53 6 Exercices 6.1 EDO . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Lemme de Gronwall 6.1.2 Probl`me de Cauchy e 6.1.3 Runge-Kutta . . . . 6.1.4 Syst`mes d’EDO . . e 6.2 EDP . . . . . . . . . . . . . 6.3 Lois de conservation . . . . 6.4 EDS . . . . . . . . . . . . . 6.4.1 EDS : solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

f (z) soit continue sur Ω. (f est appel´ee d´eriv´ee de f ). 1 2) f (x, y) = f (x + iy) est de classe C 1 (Ω) et ∂f ∂f +i = 0. ∂x ∂y 3) f (x, y) = R(x, y) + i I(x, y) est de classe C 1 (Ω) avec ∂R ∂I = ∂x ∂y et ∂R ∂I =− . ∂y ∂x (Conditions de Cauchy-Riemann). Remarques : – On note H(Ω) l’ensemble des fonctions holomorphes sur Ω. – Si f, g ∈ H(Ω) alors f + g, f g, f /g (g = 0 sur Ω) sont holomorphes et de d´eriv´ees f + g , f g + f g , (f g − f g )/g 2 . – f (z) = az, a ∈ C I , est holomorphe

et de l’intersection : Soit E un ensemble, soient A, B, C des sous-ensembles de E, A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) Complémentaire : Soit E un ensemble, soient A, B des sous-ensembles de E, CE (A ∪ B) = CE A ∩ CE B Produit cartésien : Soient E, F , G et H des ensembles, (E × F ) ∪ (E × G) = E × (F ∪ G) (E × F ) ∪ (G × F ) = (E ∪ G) × F (E × F ) ∩ (G × H) = (E ∩ G) × (F ∩ H) CE (A ∩ B) = CE A ∪ CE B 1.1.2 Nombres complexes Partie réelle, partie imaginaire :

valeurs e e e absolues pour obtenir l’expression d´sir´e de son esp´rance. e e e La caract´risation suivante de l’ind´pendance au travers des esp´rances fait intervenir un e e e produit. D’une fa¸on tr`s g´n´rale l’ind´pendance permet d’effectuer des factorisations et c e e e e il est bon d’avoir en tˆte le lien “ind´pendance = produit”. e e Proposition 2.3.8. Soient X et Y deux variables al´atoires discr`tes a valeurs respectie e ` vement dans F et G. 1. Si X et Y sont ind´pendantes alors pour toutes fonctions

5.4 5.5 Multiset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 OGF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2 EGF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S´ries rationnelles (rep´sentations lin´aires et aspect e e e 5.5.1 Produit de Hadamard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . automatique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 25 25 25 27 27 27 28 29 31 32 35 36 36 36 37 37 38 38 40 40